2017版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习(课件+习题+讲义):第5章 平面向量5.4

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1、1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧:问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ=(θ为向量a,b的夹角),其中a,b为非零向量长度问题数量积的定义

2、a

3、==,其中a=(x,y),a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题

4、的步骤:平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.2.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=F·s=

5、F

6、

7、s

8、cosθ(θ为F与s的夹角).3.平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上,

9、可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:一是利用平面向量平行或垂直的充要条件;二是利用向量数量积的公式和性质.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若∥,则A,B,C三点共线.( √ )(2)向量b在向量a方向上的投影是向量.( × )(3)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角,若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( × )(4)在△ABC中,若·<0,则△ABC为钝角三角形.( × )(5)已知平面直角坐标系内有

10、三个定点A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若动点P满足:=+t(+),t∈R,则点P的轨迹方程是x-y+1=0.( √ )1.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则这个三角形是(  )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案 B解析 ∵=(2,-2),=(6,6),∴·=12-12=0,∴⊥,∴△ABC为直角三角形.2.已知在△ABC中,

11、

12、=10,·=-16,D为边BC的中点,则

13、

14、等于(  )A.6B.5C.4D.3答案 D解

15、析 在△ABC中,由余弦定理可得,AB2+AC2-2AB·ACcosA=BC2,又·=

16、

17、·

18、

19、cosA=-16,所以AB2+AC2+32=100,AB2+AC2=68.又D为边BC的中点,所以+=2,两边平方得4

20、

21、2=68-32=36,解得

22、

23、=3,故选D.3.设O是△ABC内部一点,且+=-2,则△AOB与△AOC的面积之比为________.答案 1∶2解析 设D为AC的中点,如图所示,连接OD,则+=2.又+=-2,所以=-,即O为BD的中点,从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.4.平面上

24、有三个点A(-2,y),B,C(x,y),若⊥,则动点C的轨迹方程为________.答案 y2=8x(x≠0)解析 由题意得=,=,又⊥,∴·=0,即·=0,化简得y2=8x(x≠0).5.已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m,且F与s的夹角为60°,则力F所做的功W=________J.答案 300解析 W=F·s=

25、F

26、

27、s

28、cos〈F,s〉=6×100×cos60°=300(J).题型一 向量在平面几何中的应用例1 已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点

29、,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(  )A.内心B.外心C.重心D.垂心答案 C解析 由原等式,得-=λ(+),即=λ(+),根据平行四边形法则,知+是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.引申探究在本例中,若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的________.答案 内心解析 由条件,得-=λ,即=λ,而和分别表示平行于,的单位向量,故+平分∠BAC,即平分∠BAC,所以点P的轨迹必过△

30、ABC的内心.思维升华 解决向量与平面几何综合问题,可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系,然后通过向量运算研究几何元素之间的关系. (1)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB=________.(2)平面四边形ABCD中,+=0,(-)·=0,则四边形ABCD是(  )A.矩形B.梯形C.正方形D.菱形答案 (1) (2)D解析

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