概率解题典型错误类型及根源分析--概率解题典型错误类型及根源分析

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1、統率餡遐敛型错谯盖型2俚漁分朽高屮数学新教材第二册屮增加了概率的内容。本文试图就学生易犯错误类型作些总结，仅供讲授新教材的老师们参考。类型一：“非等可能”与“等可能”混同例1：掷两枚散子，求事件A为岀现的点数Z和等于3的概率。错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2,3,4,……，12},有利于事件A的结果只有3,故P(A)=*。分析:公式P(A)=有利于事件A的基木事件数基本事件的总数仅当所述的试验结果是等可能性时才成立，而取数值2和3不是等可能的，2只有这样情况(1,1)才出，而3有两种情况(1,2),(2,1)可出现，其它的情况可类推。正确答案掷两枚骰子可

2、能出现的情况:(1,1),(1,2),…，(1,6),(2,1),(2,2),…，(2,6),…，(6,1),(6,2),…，(6,6),基本事件总数为6X6=36。在这些结果中，有利于事件A的只有两种结果(1,2),(2,1)。P(4)==—o3618类型二：“互斥”与“独立”混同例2：甲投篮命中率为0.8,乙投篮命中率为0.7,每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？错解:设“甲恰好投中两次”为事件A,“乙恰好投中两次”为事件B,则两人都恰好投屮两次为A+B。P(A+B)=P(A)xP(B)=C/0.82x0.2+C/0.72x0.3=0.825.分析：本题错

3、解的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑。将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和。正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A,“乙恰好投中”为事件B,则两人都恰好投中两次为事件AB,则:・•・P(AB)=P(A)xP(B)=Cf0.82x0.2xC；0.72x0.3=0.169.例3：某家庭电话在家屮有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1,响第2声时被接的概率为0.3,响第3芦时被接的概率为04,响第4声时被接的概率为0.1,那么电话在响前4声内被接的概率是多少：错解：设电话响第1声时，被接的概率为：P(Ai)=0.1电话

4、响第2声时被接的概率为：P(A2)=0.3,电话响第3声时被接的概率为：P(A3)=0.4,屯话响第4声吋被接的概率为：P(A4)=0.1,所以电话在响前4声内被接的概率是：P=P(A).P(A2).P(A3).P(A4)=0.1x0.3x0.4x0.1=0.0012.分析：本题错解的原因在于把互斥事件当成相互独立同吋发生的事件来考虑。根据实际生活的经验电话在响前4声内，每一声是否被接彼此互斥。正解：P=P(Al)+P(A2)+P(A.)+P(A4)=0・1+0.3+0.4+0.1=09点评：以上两例错误的原I大I都在于把两事件互斥与两事件相互独立混同。两事件A,B互

5、斥与A,B相互独立，这两个概念有何关系？A,B互斥，是B的出现必然导致A的不岀现；或A的出现必须导致B的不出现，即AB=0,从而B出现的概率与另一事件A是否出现密切相关。那种认为“两事件相互独立必定互斥”的认识是错误的。因为在P(A)>0,P(B)>0的条件下，若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)•P(B)>0；而若A,B互斥，则P(AB)=0,两个概念出现矛盾，这就说明在P(A)>0,P(B)>0的情况下，和互独立不能互斥。因此，在一般情况下，互斥与相互独立是两个互不等价，完全不同的概念。类型三“互斥”与“对立”混同例4：从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个

6、球，那么互斥而不对立的两个事件是()(A)至少有1个白球，都是口球(B)至少有1个口球，至少有1个红球(C)恰有1个白球，恰有2个白球(D)至少有1个白球，都是红球错误答案(D)。分析木题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。正解(A),(

7、B)不互斥，当然也不对立，(C)互斥而不对立，(D)不但互斥而且对立所以止确答案应为(C)。类型四“条件概率P(BIA)”与“积事件的概率P(AB)”混同例5：袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球,取2次，求：(1)第二次才取到黄色球的概率；(2)发现其中之一是黄色的，另一个也是黄色的概率。错解：(1)设A=“第一次取到白球”，B=“第二次取到黄球”，C=“第二次才取到黄球”。・•・P(C)=P(B

8、A)=

9、=

10、.(2)记D=“取两次其中之一是黄的”，E=“两个都是黄的”，F=“其中之一是黄的，另一个也是黄的”。•••P(F)