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1、题71AABC是边长为1的正三角形，PA丄平血ABC,且PA=——，A点关于平面PBC4的对称点为A求直线A'C与AB所成角的余弦值.解法1设D是BC的屮点，AA，与而PBC交于O,由已知，O必在PD上.•・•AADOs△PDA,又A与A，关于平［ft!PBC对称，・・・A'B=AB=1,由A，A=A'B=1,CA=CB=1,可得A，C丄AB,・・・A，C与AB所成角的余弦值为0.解法2如图1,作口CA，AF,则直线AT与AB所成角的余弦值等于
2、cosZBAF
3、,由于两点A，,A关于平面PBC对称，则该平面上任意点
4、与AA等距离，故A,C=AC=1.设A，A交面PBC于O点，延长PO交BC于E,连结AE,易知BC丄PA,BC丄AO,故BC丄平面PAE,所以BC丄AE,又AB=AC=BC=1,所以E是BC的中点，AE=—,易求AO==_L,则2PE2图2FC=A,A=2AO=1,由于A'A丄BC,CF〃A'A,贝ljCF±BC.又由FC=CB=1,矢WBF=41.由AF=AX>1,AB=1,知AF2+AB2=1+1=2=BF2,所以ZBAF=90°,
5、cosZBAF
6、=0为所求.AT=1,AE=—,AO=1二—,则OM=1A，C
7、=-,2222OE=yjAE2-AO2=一,由ME=1AB=-,知222解法3如图2,取AC的中点M,设E是BC的中点，A，A交而PBC于O点，连结OM、EM,则OM〃A，C,EM〃AB,则直线AT与AB所成介的余弦值等于
8、cosZOME
9、,同解法2可得OM2+ME2=-=OE2,所以ZOME=90°,
10、cosZOME
11、=0为所求.解法4如图3,连结A'A交面PBC于O点,连结A'B、A'C,则A,B=AB,A,C=AC.Vp_abc=-SaabcPA=-―~=—334416Va-PBc=
12、s.pbcAO=
13、.
14、.B
15、cJpB2-(2吓心戸mW。,6V1648乂丁Vp-abc=Va-pbc/所以警些。,AOVA^O=AO,•••A、A=1•故三棱锥A—ABC为正四面体，/.AT丄AB,宜线A，C与AB所成角的余弦值0.解法5如图4,建立空间直角处标系A-xyz(A为处标原点),则A(0,0,0),C(0,1,0),P(0,0,—),B(—,-,0),易知平面PBC交x轴422B于点Q(73,0,0)，由截距式得平面PBC的方程为=1,即V2%+V6y+4z=V6,于是平面PBC的一个法矢量^=(V2,V6,4),由此设A'A与平面
16、PBC的垂足为0(血,販,4/),代入平面PBC的方程，得t=—,则点24of—"I.又由于Aa的中点是o,则1246图3图46ACAB角为C1E‘2’3丿—•易知AB—,-,0•设AC与AB所成的V3V311•0=0,即直线AC1JAB所成角的余弦值为0.评析AC与AB显然是异面直线，具所成角的余弦值一般应通过平移将两异面直线所成的角转化为相交直线所成的角后再求.解法2、3就是通过不同途径实现这种转化的.按照解法2的思路，同样可以作OBCAG或Z7AABK，则
17、cosZABG
18、或cosZCAK亦为所求•因为正四
19、面体的对棱互相垂直，故解法1、4证明了A’ABC恰为正四面体，从而问题也就解决了.解法5则是运用向量知识解决问题，这也是求空间两直线所成角的常用方法.拓展推广若AABC中B、C为定角，A角对边d为定值，PA丄面ABC,PA=/,△ABC的而积为S，肓线A'C与AB所成角为&,则cos&=cosBcosC一sinBsinC-4S2-a2l24S2+6z2/2*证明因为角B、C及边d为定值，故AABC可解，其面积S为定值.如图5,过A作AD丄BC,0为垂足，连结PB,PC,P0.由题设知BC丄PO,BC丄面PAO.面PB
20、C丄面PAO.作A点关于直线P0的对称点A：则A’也是A点关于平面PBC的对称点，连结A’C,A'O.过点C作AB的平行线交A0的延长线于D,则ZACD就是A'C与AB所成的角&.乂可知ZBCD=ZB,ZBCA'=ZC,二面角A—2SPAtanZPOA=OAl-tan2ZPOA1+tai?"044S2-a2l24S2+^72/2由三射线定理，可得cosZACD=cosBcosC+sinBsinCcos(兀一ZAOA^=cosBcosC-sinBsinC•4S2-^2/24S2+a2l2'BC—D的平面角ZA*0D=乃
21、-ZA'OA，ZA■0A=2ZPOA,乂0A=——，由a运川推广，不难验证原题屮直线AC与AB所成角的余弦值=0.cos0=cos60°cos60-sin60°sin60题72已知正方体的棱长为a,它的体对角线和与它不共面的面对角线之间的最小距离等于•(解法1如图1,要求ACAjBC,Z间的最小距离.因为BC】丄丄EC,所以BC｝丄平面AB]C
