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1、4.3差商及其性质•差商的概念函数f(x)，其零阶差商：f[x]=f(x)00f[x]−f[x]10一阶差商：f[x,x]=01x−x10f[x,x]−f[x,x]1201二阶差商：f[x,x,x]=012x−x20f[x,K,x]−f[x,K,x]1n0n−1n阶差商：f[x,x,K,x]=01nx−xn0•差商的性质¢性质1：n阶差商可以表示为n+1个函数值的线性组合f(x)0f[x,x,K,x]=+L01n(x−x)L(x−x)010nf(x)k+(x−x)L(x−x)(x−x)L(x−x)k0kk−1kk+1knf(x)n+L+(x−x)L(x−x)n0nn−1nn1=∑(∏)
2、f(xk)k=0j=0xk−xjj≠k¢性质2：对称性，即差商与节点顺序无关f[x,x]=f[x,x]0110f[x,x,x]=f[x,x,x]=f[x,x,x]=f[x,x,x]=L012021102120•差商的计算：差商表xf(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商iixf(x)００xf(x)f[x,x]1１01xf(x)f[x,x]f[x,x,x]２２１２0１２xf(x)f[x,x]f[x,x,x]f[x,x,x,x]3323123０1234.3牛顿插值公式•Lagrange插值法计算的问题¢新增插值节点需要重新计算所有基函数•解决方法¢基于差商的特点推导构造Newton插值
3、公式¢从一阶差商开始推导一直到n差商N(x)=a+a(x−x)+a(x−x)(x−x)+n010201L＋a(x−x)L(x−x)n0n−1f(x)−f(x)0一阶差商：f[x,x]=0x−x0⇒f(x)=f(x)+f[x,x](x−x))1(000?f[x,x]−f[x,x]001二阶差商：f[x,x,x]=01x−x1⇒f[x,x]=f[x,x]+f[x,x,x](x−x))2(001011)2(代入)1(得f(x)=f(x)+0f[x,x](x−x)+010f[x,x,x](x−x)(x−x))3(0101?f[x,x,x]−f[x,x,x]01012三阶差商：f[x,x,x,x
4、]=012x−x2⇒f[x,x,x]=f[x,x,x]+f[x,x,x,x](x−x))4(010120122)4(代入)3(得f(x)=f(x)+0f[x,x](x−x)+010f[x,x,x](x−x)(x−x)+01201f[x,x,x,x](x−x)(x−x()x−x))5(123012?f[x,x,x,K,x]−f[x,K,x]01n−10nn阶差商：f[x,x,x,xK,x]=01nx−xn⇒f[x,x,x,K,x]=f[x,K,x]+f[x,x,x,xK,x](x−x)01n−10n01nn代入到前一步得到的递推式中得f(x)=f(x)+0f[x,x](x−x)+010f
5、[x,x,x](x−x)(x−x)+01201N(x)nf[x,x,x,x](x−x)(x−x()x−x)+0123012L+f[x,x,L,x](x−x)(x−x)L(x−x)+01n01n−1f[x,x,L,x](x−x)(x−x)L(x−x)1n01nR(x)n?f(x)=N(x)+R(x)nnN(x)牛顿插值公式nN(x)=a+n0a(x−x)+10a(x−x)(x−x)+201L＋a(x−x)L(x−x)n0n−1其中的系数是差商表对角线上的元素R(x)插值余项nR(x)=f[x,x,L,x](x−x)(x−x)L(x−x)n1n01n•Newton插值法计算过程¢先计算差商
6、xf(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商iixf(x)００xf(x)f[x,x]1１01xf(x)f[x,x]f[x,x,x]２２１２0１２xf(x)f[x,x]f[x,x,x]f[x,x,x,x]3323123０123¢使用Nn(x)计算f(x)的近似值¢使用Rn(x)估算余项
