二项式定理的常见题型及解法特全版

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1、二项式定理的常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。一、求二项展开式n1．“(ab)”型的展开式14例1．求(3x)的展开式；x43x14(3x1)解：原式=()=2xx104132234=[(3x)(3x)(3x)(3x)]2C4C4C4C4C4x1432=(81x84x54x12

2、x1)2x2121=81x84x542xx小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。n2．“(ab)”型的展开式14例2．求(3x)的展开式；x1414分析：解决此题，只需要把(3x)改写成[3x()]的形式然后按照二项展开xx式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。3．二项式展开式的“逆用”123nnn例3．计算13Cn9Cn27Cn....(1)3cn；01122333nnn解：原式=(3)(3)(3)....(3)(13)(2)CnCnCn

3、CnCn小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。1232nn1、（05年天津卷）设nN，则CC6C6C6。nnnn1232nn110132nn110解CC6C6C6CC6C6C6C，所nnnnnnnnn6610122nn1n1n以(CC6C6C61)[(16)1](71)nnnn666二、通项公式的应用1．确定二项式中的有关元素ax939例4．已知()的展开式中x的系数为，常数a的值为x24r3ra9rxrrr29rr9解：TC()()C(1)2ax2r199x23令r

4、93，即r82依题意，得884989C(1)2a，解得a1942．确定二项展开式的常数项110例5．(x)展开式中的常数项是3x515r解：TCr(x)10r()r(1)rCrx6r110103x5令5r0，即r6。666所以常数项是(1)C2101036110例1、（08年江西卷）(1x)(1)展开式中的常数项为（）4xA．1B．46C．4245D．424636解：先求(1x)的展开式中的通项．1rTCxr(33)rCxrr,0,1,2,3,4．r166110再求(1)的展开式中的通项．4x1kTCk(x44)kCxk

5、,k0,1,2,3,4,,10k11010rkkr两通项相乘得：Cxr3Cxk44CCxrk3，610610rk令=0，得4r=3k，这样一来，（r，k）只有三组：（0，0），（3，4），（6，8）满足要求。343468故常数项为：1CCCC4246610610n21*例2、（08年辽宁卷15）已知(1xx)x3的展开式中没有．．常数项，nN，且2≤n≤8，x则n=______．1n*分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题()x对nN,2剟n8中，3x2只有n5时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x、x乘积为常数的项。故填5。x15（

6、备用题）（05年湖北卷）(2)的展开式中整理后的常数项等于。2xx15x110解：因为(2)＝()，2x2x5x15632所以常数项为正中间的项TC()．6102x2练习题：1121）、（08年山东卷）（X-）展开式中的常数项为（）3x（A）-1320（B）1320（C）-220(D)220642）、（08年全国二7）(1xx)(1)的展开式中x的系数是（）A．4B．3C．3D．4答案：1）（C）；2）（B）。3412xx1展开式中2例4、（08年四川卷）x的系数为______。分析：此题是二项式定理的再现，是一道中档略偏难的常规题．学生容易在准确性和快捷性

7、上有缺陷．解：34(12)(1xx)122122(1C2xC4x)(1CxCx)334422112x项的系数是C2CC4C624126．43433．求单一二项式指定幂的系数2199例6．（03全国）(x)展开式中x的系数是；2xr29r1rr182r1r1rr1r183x解：T(x)()=x()()=()xr1C92xC92xC929令183