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时间:2018-08-03
《例说二项式定理的常见题型及解法 人教版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、例说二项式定理的常见题型及解法http://www.DearEDU.com小越中学严君君二项式定理的问题相对较独立,题型繁多,解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用,又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到,题型多为选择题,填空题,偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下,希望能够起到抛砖引玉的作用。一、求二项展开式1.“”型的展开式例1.求的展开式;解:原式=====小结:这类题目一般为容易题目,高考一般不会考到,但是题目解决过程中的这种“先化简在展开
2、”的思想在高考题目中会有体现的。2.“”型的展开式例2.求的展开式;分析:解决此题,只需要把改写成的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。3.二项式展开式的“逆用”例3.计算;解:原式=小结:公式的变形应用,正逆应用,有利于深刻理解数学公式,把握公式本质。二、通项公式的应用1.确定二项式中的有关元素例4.已知的展开式中的系数为,常数的值为用心爱心专心118号编辑6解:令,即依题意,得,解得2.确定二项展开式的常数项例5.展开式中的常数项是解:令,即。所以常数项是3.求单一二项式指定幂的系数例6.(03全国)展开式中的系数
3、是;解:==令则,从而可以得到的系数为:,填三、求几个二项式的和(积)的展开式中的条件项的系数例7.的展开式中,的系数等于解:的系数是四个二项展开式中4个含的,则有例8.(02全国)的展开式中,项的系数是;解:在展开式中,的来源有:①第一个因式中取出,则第二个因式必出,其系数为;②第一个因式中取出1,则第二个因式中必出,其系数为的系数应为:填。四、利用二项式定理的性质解题用心爱心专心118号编辑61.求中间项例9.求(的展开式的中间项;解:展开式的中间项为即:。当为奇数时,的展开式的中间项是和;当为偶数时,的展开式的中间项是。2.求有理项例10.求的展开式中
4、有理项共有项;解:当时,所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。①当一个代数式各个字母的指数都是整数时,那么这个代数式是有理式;②当一个代数式中各个字母的指数不都是整数(或说是不可约分数)时,那么这个代数式是无理式。3.求系数最大或最小项(1)特殊的系数最大或最小问题例11.(00上海)在二项式的展开式中,系数最小的项的系数是;解:要使项的系数最小,则必为奇数,且使为最大,由此得,从而可知最小项的系数为(2)一般的系数最大或最小问题例12.求展开式中系数最大的项;解:记第项系数为,设第项系数最大,则有又,那么有用心爱心专心118号编辑6即解得,系数最大的
5、项为第3项和第4项。(1)系数绝对值最大的项例13.在(的展开式中,系数绝对值最大项是;解:求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理,故此答案为第4项,和第5项。五、利用“赋值法”求部分项系数,二项式系数和例14.若,则的值为;解:令,有,令,有故原式===在用“赋值法”求值时,要找准待求代数式与已知条件的联系,一般而言:特殊值在解题过程中考虑的比较多。例15.设,则;用心爱心专心118号编辑6分析:解题过程分两步走;第一步确定所给绝对值符号内的数的符号;第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。解:==0六、利用二项式定理求近似值例16.求的近似值,使
6、误差小于;分析:因为=,故可以用二项式定理展开计算。解:==,且第3项以后的绝对值都小于,从第3项起,以后的项都可以忽略不计。==小结:由,当的绝对值与1相比很小且很大时,等项的绝对值都很小,因此在精确度允许的范围内可以忽略不计,因此可以用近似计算公式:,在使用这个公式时,要注意按问题对精确度的要求,来确定对展开式中各项的取舍,若精确度要求较高,则可以使用更精确的公式:。利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目,但是按照新课标要求,对高中学生的计算能力是有一定的要求,其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。七、利用
7、二项式定理证明整除问题例17.求证:能被7整除。证明:===49P+()用心爱心专心118号编辑6又=(7+1)==7Q(Q)能被7整除。在利用二项式定理处理整除问题时,要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来,变形要有一定的目的性,要凑出相关的因数。用心爱心专心118号编辑6
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