椭圆经典例题分类汇总 -(学生版)

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1、椭圆经典例题分类汇总一.椭圆第一定义的应用例1椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．例2已知椭圆的离心率，求的值．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上．故必须进行讨论．例3已知方程表示椭圆，求的取值范围．说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．9出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示

2、椭圆．例3已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．说明：(1)由椭圆的标准方程知，，这是容易忽视的地方．(2)由焦点在轴上，知，．(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件例5已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．二.焦半径及焦三角的应用例1已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．9

3、例2已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．三.第二定义应用例1椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．说明：本题关键在于未知式中的“2”的处理．事实上，如图，，即是到右准线的距离的一半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使到9的距离与到右准线距离之和取最小值．例2已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离．说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活

4、选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．例3　已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．(1)　求的最大值、最小值及对应的点坐标；(2)　求的最小值及对应的点的坐标．说明：求的最小值，就是用第二定义转化后，过向相应准线作垂线段．巧用焦点半径与点准距互化是解决有关问题的重要手段．9四.相交情况下--弦长公式的应用例1已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的

5、方程．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例2已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．9五.相交情况下—点差法的应用例1已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．说明：（1）

6、此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．例2已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”9．有关二次曲线问题也适用．例3已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率

7、为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．例4已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称．说明：涉及椭圆上两点，关于直线恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式，建立参数方程．(2)利用弦的中点在椭圆内部，满足，将，9利用参数表示，建立参数不等

8、式．例5已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．99