我对“布丰投针概率公式”的证明

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1、我对“布丰投针概率公式”的证明索杨军2008年11月7日注：此文于2008年曾在澄城县教学论文大赛中获奖。翻阅初三数学课本，有幸看到布丰投针试验，非常有趣。在平面上画有间距为d的平行线，针的长度是l，l＜d，将针随意投在平面上，求针与平行线相交的概率。早在二百多年前，法国数学家布丰就证得此概率p＝（2l）/（πd），如此简洁美丽，令人惊叹称奇。经过半天的苦苦思索，终于也证得此式。猛然间看起来，想证两条线相交的概率，绝非易事，好似无从下手，但仔细想来，还是有章可循。当针的中点O落在平面某一点O′时，所有的可

2、能性形成了一个圆，其面积如图1的S1：5此时，针与平行线相交的所有可能性是两个扇形，其面积如图2的S2：其中，x为O到平行线的距离，看图2的注解。到此为止，解决问题的关键还在于选取一个最小的基本单元——一条竖直线段，这条竖直线段长d/2，一端在平行线上，见图3的单元线段。让O在其上移动，这样，所有的可能性形成一个圆柱，其体积如图3的V1：此时，针与平行线相交的可能性类似于一个锥体，其体积的微分如图4的dV2：针要与平行线相交，其中点O与平行线距离X不能大于l/2，故：对其求定积分，不难得出特殊锥体的体积：

3、积分时要注意扇形半角θ的范围，即：则针与平行线相交的概率为：证毕。点评：从以上证明过程可以看出，难点不在于计算，而在于两次抽象。首先让针的中点绕基本单元线段上的某点转动，积分得出两个面积之比，然后再让针在基本单元线段上平动，积分得出两个体积之比。5不久，向一位好友发出邀请，探求他的新证法，以便交流，看能发现什么规律。虽然未果，但却有意外收获，从他的“概率论”上查得当代数学家的证明，附录如下：如图5所示，设针与平行线的夹角为φ，则0≤φ≤π；设针的中点O到平行线的距离为x，则相交时满足：先保持φ不变，跟上面

4、的证法类似，让针的中点O在最小的基本单元线段（一条竖直线段，这条竖直线段长d/2，一端在平行线上）上平动，则点O所有的可能性将形成一条线段轨迹，正好是单元线段本身，如图6的l1，其长度：此时，针与平行线相交的可能性也是一条线段轨迹，如图7的l2，其长度：然后让φ变化（注意：O仍在基本单元线段上），即让针在0到π之间转动，则所有的可能性形成一个矩形，长为π，宽为d/2，其面积如图8的S1：5此时，针与平行线相交的所有可能性是一条正弦曲线与φ轴围成的面积，如图8的S2，其面积的微分dS2是：对其求定积分，容易

5、得出S2的面积为：则针与平行线相交的概率为：证毕。注：原证明过程相对粗糙，插图只有5和8，外加一个综合算式，较难看懂，为方便读者透彻理解，笔者增加了图6、图7以及讲解部分，且对图8进行了加工处理。点评：从以上证明过程可以看出，难点也不在于计算，仍在于两次抽象。首先让针的中点在基本单元线段上平动，积分得出两个长度之比，然后再让针在基本单元线段上转动，积分得出两个面积之比。比较两种证法，获益匪浅：1.大同。难点和关键都在于去粗取精、去伪存真，灵活机动地放弃无穷大平面，紧紧瞄准一个基本单元，进行单独分析，即可迎

6、刃而解，更为神奇的是，二者选中的单元线段竟不谋而合，殊途同归，难道巧合？绝非，它揭示了投针概率的本质特点，也是抽象思维的的必然产物。此外，数学工具都涉及到微积分，解题过程都分为六个步骤。2.5小异。前者先将线积成面，再将面积成体，得到体积之比；后者直接将针看作点，先将点积成线，再将线积成面，得到面积之比。后者简化了一维空间，为何会造成此差别？根本原因在于颠倒了积分顺序，前者先转动后平动，后者先平动后转动。平动时可将针抽象为一个点，而转动时却不能。总之，不管是思想和方法，还是工具与步骤，都完全一致，只是后者

7、更加抽象，稍难理解却换来了计算量的简化，有失有得，得大于失。可见，对于多重积分，适当选取积分顺序，可避免繁琐计算。至于布丰如何证得，笔者无法考证，但有一点是肯定的，即使对于一个当时著名的数学家，有着非凡的数学思想，但在微积分这一数学工具尚不完善的时代，证得此公式还是稍微有些难度的。5