高中数学求圆锥曲线方程的步骤学法指导

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1、高中数学求圆锥曲线方程的步骤给出一个圆锥曲线的几何性质及其相关信息，求其方程是高考命题的重点。一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。定式——根据“形”设方程的“式”，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为。定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。例1.某电厂冷却塔的外形是如图1所示的双曲线的一部分，绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A、是双曲线的顶点，C、C'是冷却塔上口直径的两个端点，B、B'是下底直径的两个端点。已知AA'=14m，CC'=18m，

2、BB'=22m，塔高20m。请建立坐标系并写出该双曲线方程。解：如图2，建立直角坐标系xOy，使AA'在x轴上，AA'的中点为坐标原点O，CC'与BB'平行于x轴。设双曲线方程为，则。又设B（11，），C（9，），因为点B、C在双曲线上，所以有。由题意知，由以上几式得：，故双曲线方程为。点评：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学数学思想和方法解决实际问题的能力。例2.如图3，过点（1，0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点。直线y=过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程。图3解法

3、一：由。设椭圆方程为，A（），B（）在椭圆上则，两式相减得：设AB中点为（），则，又（）在直线上，，于是。设l的方程为右焦点（c，0）关于l的对称点设为（x'，y'）则，解得由点（1，1－c）在椭圆上，得。∴椭圆C的方程为，l的方程为。解法二：设A（），B（）在椭圆上。由，得，从而。设椭圆C的方程为，l的方程为。将l的方程代入椭圆C的方程，得，。直线l：，则：，解得k=0，或k=－1若k=0，不符合题意舍去。而k=－1时，直线l的方程为，即，以下同解法一。点评：本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。例3.已知△的面积为，P为线段的一个三等分点，求以直线为

4、渐近线且过点P离心率为的双曲线方程。分析：利用点P在曲线上和△的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值。解：以O为原点，∠的角平分线为x轴，建立如图4所示的平面直角坐标系。设双曲线的右顶点为A，其方程为。图4由。∴两渐近线OP1、OP2方程分别为设点P1（），P2（）（），则由点P分所成的比。又点P在双曲线上，所以。即。又sin∠。∴即。点评：本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。