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1、第六章微分中值定理及其应用数学分析教研组数学分析MathematicalAnalysis微分中值定理基本介绍在前一章，我们介绍了函数的导数以及微分的概念以及求导数微分的运算法则.。我们知道函数在一点的导数反映的是函数在该点处关于自变量的变化率，几何上表现为在平面曲线上一点处曲线的切线的斜率。数学分析的研究对象是变量与变量之间相互变化的依赖关系---函数。上海理工大学理学院这一章我们来讨论如何利用导数已知性质来推断函数的性质。包括函数的单调性、极值、凹凸性以及求不定式的极限等。在微分概念基础上建立的微分中值定理是我们进行这些讨论的有效工具.§1拉格朗日定理和函数的单
2、调性一 罗尔定理与拉格朗日定理数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具之一就是微分中值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。费马定理(Fermat)设函数f在点x0的某邻域内有定义，且在点x0可导，若点x0为的极值点则必有回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:(iii)f(a)=f(b);则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得若函数f(x)满足如下条件:（i）在闭区间[a,b]上连续;（ii）在开区间（a,b）内可导;定理6.1（罗尔（Rolle)中值定理)（分析）由条件（i）知在[a，b]上有最大值和最小值，再由条件（ii）
3、及（iii），应用费马定理便可得到结论。证明：因为在f在［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：(i)若M=m,则在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立。(ii)若m＜M，则因f(a)=f(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，而ξ是的极值点，由条件(ii)f在点ξ处可导，故由费马定理推知注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将
4、不一定成立，见下图：注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：在[-1，1]上满足罗尔定理的条件，显然所以，在（-1，1）内存在无限多个使得定理6.2(拉格朗日（Lagrange)中值定理）若函数f满足如下条件：（i）f在闭区间[a,b]上连续；（ii）f在开区间(a,b)内可导；则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得应用罗尔定理证明拉格朗日定理的（思路）构造函数F(x)，使得F(x)满足罗尔定理的条件(i)-(iii)而且从而推得证明：作辅助函数显然F(a)=F(b)=0,且F在[a,b]满足罗尔定理的其他两个条件故存在点ξ∈(a，
5、b)，使得即注1:罗尔定理是拉格朗日中值定理时的特例注2:几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线y=f(x)上至少存在一点P(ξ,f(ξ))该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB我们在证明中引入的辅助函数F(x)，正是曲线y=f(x)与直线AB之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB平行于新х轴(F(a)=F(b))注3:此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。真是个好法
6、啊！！注4：拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：拉格朗日定理的几个重要推论推论1函数在区间I上可导且f(x)为I上的常值函数.证明：任取两点x1,x2（设），在区间[x1,x2]上应用拉格朗日中值定理，存在使得所以又由于x1,x2的任意性得到f(x)在I上为常数。推论2：函数f(x)和g(x)在区间I上可导且推论3：（导数极限定理）设函数在点的某邻域U(x0)内连续，在Uo(x0)内可导，且极限存在则，f在x0点可导，且证明：分别按左右导数来证明上式成立（1）任取f(x)在[x0,x]上满足拉
7、格朗日中值定理条件，则存在ξ，使得由于x0＜ξ＜x，因此当x→x0+时随之有ξ→x0+，对上式两边取极限，使得（2）同理可得因为存在，所以从而即注：导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。二单调函数定理6.3：设函数在区间I内可导,则在I内递增(减)的充要条件是证明：若f为增函数，则对每一个x0∈I,当x≠x0时，有令x→x0,即得反之，若f(x)在区间I上恒有则，对任意x1,x2∈I(设x1＜x2)，应用拉格朗日定理，存在ξ∈（x1,x2),使得由此证得f在I上为增函数。例4设f(x)=x3-x讨论它的单调区间。解：因此,当时，f递增；当当时，f递减；f递增。时
8、，图像如下
