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1、线性方程组迭代方法的总结及程序实现作者：吴文刚指导老师：盛敏摘要线性方程组在经济系统的平衡、电路网络、化学方程式的配平、平板热传导问题等方面都有着广泛的应用。因此总结并分析线性方程组迭代方法并进行程序实现就显得非常重要。关键字线性方程组；迭代矩阵法；外推法；切比雪夫加速;Matlab1.引言现有的迭代方法除了经典算法以外，还有很多前沿算法。它们各具优点，如：迭代矩阵法，外推法，切比雪夫加速这些迭代法储存空间小，程序简单等特点，是解大型稀疏线性方程组的有效方法。评判和比较各种迭代法的标准主要根据迭代法的收敛性，迭代法的收敛速度，每迭代一次所需
2、的计算量，实际计算时需要的储存量。正文2迭代矩阵法a11x1+a12x2+L+alnxn=b】込內+0^2+L+a2nxn=b2将式⑴用矩阵表不为Ax=b，并记a\0•…0(00…0]D=0•■■a22••••…0••••••E=一。2•••0•••…0••••••0…ann—d1~an2…0丿/‘0~a2…~a、F=0■■■0■■•…-a••••••0…0丿于是A二D-E-F,按前面假定有det(D)HO.这样,公式可表示为x(z二dYe+fIx^+dS,⑵x(k+1)=(D-E)_,Fx(k>+(D-E)_,b,(3
3、)x(k+D二(D-3E)J[((1-3)D+3F)x(k)+3b](4)显然，公式(2),(3),(4)具有统一的形式x(k+1)=Bx(k)+f(5)1.1设x为方程(1)的解，即有x二Bx+f,将式⑸与之相减有x(k+''-x=B(x{k,-x),递推得到x(k+l)-x=Bk(x(()>-x),两边取极限可知limx(k)=xolimBk=0ksR—>oo2.2设入为B的特征值，g为相应的特征向量，则Bkg二亠—“limM=0olim2*=0o
4、AI<1入g,可见"8火T81'由此可得迭代收敛定理：2.3此程序在Matlab中的实现
5、L二zeros(n);U=zeros(n);fori=l:nforj=i+l:nL(,ji)=B(,ji);U(,ii)=B(,ii);U(,ij)=B(,ij);endendT=eye(n);Gs二inv仃-L)*U;F二inv仃-L)*;fe二eig(Gs);rou=max(abs(e));ifrou>=ldisp(-'--此方程组不能用Gauss-Seidel迭代法求解---)'returnenddisp(中间迭代解x二)x二Gs*xO+F;disp(x)whilenorm(x~xO,inf)>=epsxO=x;x二Gs*xO+F;d
6、isp(x)enddisp(满足精度要求的解x二：)disp(x)2.外推可以用来改进线性迭代过程的收敛性质考察的迭代公式(—1).+C(6)引进参数Y#0,并把方程(6)嵌入到下面参数迭代方程族中,(k)伙一1)I/I伙一1)X+c)+(l-/)x(7)其中G“+a注意：当Y二1时，我们重新获得(6)式中原来的迭代。若(7)屮的迭代收敛于X,则取极限，我们得到X二Y(Gx+c)+(l-Y)X或者，因为yHO,可得到x二Gx+c记得迭代(6)的冃标产生方程x二Gx+c的解。若G-I-QLA及c=Q'b,则这个方法对应于求解Ax二b.在试
7、图确定参数Y的最优值之前，我们需要一个有关特征值的结果。3.1定理1(p(A)的特征值定理)若入是矩阵A的特征值，并且P是一个多项式，则P(X)是p(A)的特征值。证明设Ax二入x,xHO•则A’x二入Ax二入"x.由归纳法及对k二0的单独验证，有Ak=Xkx(k^O)因此，宀是卅的特征值，多项式p,记"(z)=Xszkk=0加加P(A)兀=工“A"x=工“兄鼻=p(/L)xk=0k=0由定理1,(7)式中的外推法收敛的充要条件是p(G/〈1・假如不能准确地知道G的特征值，而仅知道直线上包含G的全部特征值得一个区间【a,b】由定理1,举证G
8、y三厂6+(1-刃/的特征值位于端点为Y3+1-X和Xb+l-Y的区间中.用A(A)表示任意矩阵A的特征值集合•则p(G)=max2=max7花A(G丿壮A(G丿化A(G,网+1一丫9、7?l+l-/
10、(8)将证明:若1十，b］,则可以选择y使得°G)vi.3・2定理2(最佳外推参数定理)若关于G的特征值仅有的可用的信息是它们是位于区间［°问中.目.1纟a.b］9贝0Y的最好选择是2/(2-a-b).对于这个Y的值，(7z<1-yd,这里d是从1至叮以］的距离.证明假定假设成立且厂已知•因为1纟［°问,所以或者a>l或者b〈l・给
11、出第二种情况的证明，因为aWb〈l,由此可得y〉0且d=l-b.因此，如前段所注明的那样，G,’的任意特征值入满足不等式入a+1-YWYW入b+l-Y(9)因此，入W入b+l-Y
