函数奇偶性与周期性

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1、函数的奇偶性和周期性1、判断函数的奇偶性、周期性.2、利用函数的奇偶性、周期性求值.板块一：函数的奇偶性奇偶性定义图像特点偶函数如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都冇f(-x)=f(x)f那么函数/U)是偶函数关于V轴对称奇函数如果对于函数沧)的定义域内任意一个X,都有f(-x)=-f(x),那么函数斤力是奇函数关于原点对称注意：1.判断两数的奇偶性，易忽视判断两数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.判断函数几上)的奇偶性吋，必须对定义域内的每一个x,均有人一x)=—/U)，而不能说存在X。使A一旳)=—/(-¥0)、fl_

2、Xo)=.兀丫0).3.分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错课的.题型：判断函数奇偶性【例1】对于定义在R上的函数/U),给出三个命题：①若则/U)为偶函数；②若只一2)工./(2)，则几r)不是偶函数；③若，则几r)一定不是奇函数.其中正确命题的序号为•解析：根据偶函数的定义，对于定义域内的任意实数x,若则/U)是偶函数.从而命题①正确，命题②错误；对于常数函数，命题③错误.【变式1】已知/U)=a/+加是定义在［a-1.2a］上的偶函数，求a+b的值.解析：=a，+bx是定义在［a-1,2a］上的偶函数'••.

3、a-1+2a=0,-'-a=y又一x)=/(x),•"•Z?=0,「.a+b=g.题型二：利用函数奇偶性求值【例2】己知y=/W+<是奇函数，一冃/1)=1.若g(x)=/U)+2,则g(—l)=•［解析］'-'y=fix)+x2是奇函数，且x=1时，y=2,二当x=-1时，y=-2,即几一1)+(-1)2=-2,得几-1)=-3,所以g(_l)=/(_l)+2=_1.【变式2】己知奇函数7W的定义域为［-2,2］,在区间［-2,0］上递减，求满足的实数〃7的取值范围.［解析］・・VW的定义域为［-2,2］,—2W1—/“W2,—2W1—/W2，解得—®詡.①又7U)为奇函

4、数，且在［一2,0］上递减，:.fix)在［—2,2］上递减,.f(1—m)<—f(1—m2)=f(in2—1)=>1—m>m2—1,即—2

5、'则T=2a；(3)若/U+a)=-盘,则T=2a.(a>0)【例3】已知定义在R,且几1)=2,则/(2014)=5+3)=[解析]••7W=32x+

6、)=/U).•••几丫)是以3为周期的周期函数.则夬2014)=/(671X3+!)=/(!)=2.【变式3】已知函数./«对任意的实数满足：./U+3)=—盘,且当一3Wxv—1时，心)=—(x+2)2,当一1Wxv3时,fM=x.则/⑴+只2)+人3)+…+/(2014)=［解析］•••对任意x€R,都有沧+3)=-计p•g+6)=f(x+3+3)••7U)是以6为周期的周期函数，•・•当-3Wxv-1时，/U)=-(

7、x+2)2,当一1Wxv3时，J[x)=兀，•/U)=l,/(2)=2,f(3)=x-3)=-bA4)=A-2)=0,X5)=A-D=一1，/(6)=X0)=0.・・./U)+/(2)+…+几6)=1,・•J(l)+.几2)+…+夬6)=/(7)+/(8)+…+.川2)=…「代2005)+夬2006)+…+夬2010)=1,5)+夬2)+…+R2010)=1X詈二335.而犬2011)+犬2012)+犬2013)+犬2014)=/(1)+/(2)+人3)+R4)=1+2-1+0=2,5)+几2)+…+夬2014)=335+2=337.板块三：两数奇偶性、周期性的综合应用【

8、例4】设/W是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有f(x+2)=~f(x).当兀e[0,2]W,f(x)=2x~x2.(1)求证：/U)是周期函数；(2)当xG[2,4]时，求几丫)的解析式.解：(1”正明：'/f(x+2)=-fix),••J(x+4)=-/U+2)=.Ax)・是周期为4的周期函数.(2)xE[2,4],-%E[-4,-2],.'.4-xE[0,2],••J(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8.又••7(4-x)=f(-x)=-/U),-fix)=-x2+6x-8,即/W=