离散数学 习题答案

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1、离散数学习题参考答案1818第一章命题逻辑习题一1、构造公式(p∧q)∨(¬p∧¬q)、p↔q的真值表。2、构造公式¬(p∨q)与¬p∧¬q的真值表。3、构造公式p、p∧p、p∨p的真值表。4、构造公式p∨(q∧r)、(p∨q)∧(p∨r)的真值表。5、构造公式p∨(p∧r)、p的真值表。6、构造公式p∧(p∨r)、p的真值表。7、构造公式p↔q、¬q↔¬p的真值表。8、构造公式(p→q)∧(p→¬q)、¬p的真值表。9、构造公式p、¬¬p的真值表。10、构造公式p∨¬p、p∧¬p的真值表略习题二一、分别用等算演算与真值表法，判断下列公式是

2、否存在主析取范式或主合取范式，若有，请写出来。(1)(¬p→q)→(¬q∨p)(2)(¬p→q)→(q∧r)(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)(4)¬(q→¬p)∧¬p(5)(p∧q)∨(¬p∨r)(6)(p→(p∨q))∨r(7)(p∧q)∨r(8)(p→q)∧(q→r)(9)(p∧q)→q(10)¬(r↔p)∧p∧q解：(1)pq¬p(¬p→q)¬q(¬q∨p)(¬p→q)→(¬q∨p)0010111011100010011111101011存在主析取范式=成真赋值对应的小项的析取=m00∨m10∨m11=(¬p∧¬q)∨(p∧¬

3、q)∨(p∧q)主析取范式=成假赋值对应的大项的合取=M01=p∨¬q等值演算：(¬p→q)→(¬q∨p)⇔¬(¬¬p∨q)∨(p∨¬q)⇔¬(p∨q)∨(p∨¬q)⇔(¬p∧¬q)∨(p∨¬q)⇔(¬p∨(p∨¬q))∧(¬q∨(p∨¬q))⇔(¬p∨p∨¬q)∧(¬q∨p∨¬q)⇔(1∨¬q)∧(p∨¬q)⇔(p∨¬q)这是大项，故为大项的合取，称为主合取范式(¬p→q)→(¬q∨p)⇔(p∨¬q)⇔(p)∨(¬q)⇔(p∧1)∨(1∧¬q)⇔(p∧(q∨¬q))∨((p∨¬p)∧¬q)⇔(p∧q)∨(p∧¬q)∨(p∧¬q)∨(¬p∧

4、¬q)⇔(p∧q)∨(p∧¬q)∨(¬p∧¬q)因为一个公式的值不是真，就是假，因此当我们得到一个公的取值为真的情况时，剩下的组合是取值为假，因此当得到小项的析取组成的主析取范式后，可以针对剩下的组合写出主合取范式。如当我们得到(¬p→q)→(¬q∨p)的大项之合取(p∨¬q)后，使(p∨¬q)为假时(p,q)的值为(0,1)，故其标记为M01，剩余的取值为(0,0),(1,0),(1,1)，故小项之析取为m00∨m10∨m11。反之，若先得到其小项的析取，也可得到其大项的合取。反正这两者将其所有组合瓜分完毕。(2)(¬p→q)→(q∧r)

5、pqr¬p¬p→q(q∧r)结果00010010011001010110001111111000100101010011001001110111主析取范式=m000∨m001∨m011∨m111=(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧q∧r)主合取范式=M010∧M100∧M101∧M110=(p∨¬q∨r)∧(¬p∨q∨r)∧(¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨¬q∨r)(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)pqr(q∧r)(p∨(q∧r))(p∨q∨r)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)00000010010001

6、010001101100111000111101011111011111111111永真式，所有小项的析取得到其主析取范式=(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧¬r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧¬r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)由于没为假的指派，所以没有为假赋值，所对应的大项合取构成的合取，即没有主合取范式。¬(p∨(q∧r))∨(p∨q∨r)=(¬p∧¬(q∧r))∨(p∨q∨r)=((¬p∧¬q)∨(¬p∧¬r))∨(p∨q∨r)=(¬p∧¬q)∨(¬p∧¬r)∨p∨q∨r=¬(p∨q)∨(

7、¬p∧¬r)∨p∨q∨r=1永真(4)¬(q→¬p)∧¬ppq¬p(q→¬p)¬(q→¬p)结果001100011100100100110010没有成真的赋值，从而没有对应的小项，因此没有小项构成的主析取范式永假式即矛盾式，为假指派对应的大项合取=(p∨q)∧(p∨¬q)∧(¬p∨q)∧(¬p∨¬q)18原式=¬(¬q∨¬p)∧¬p=(q∧p)∧¬p=0(5)(p∧q)∨(¬p∨r)pqr(p∧q)¬p(¬p∨r)(p∧q)∨(¬p∨r)0000111001011101001110110111100000010100111101001111

8、1011主析取范式(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧¬r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)主合取范式M100=¬p∨q∨