混沌现象研究

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1、混沌现象研究实验二十九混沌现象研究长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。但是自然界在相当多情况下，非线性现象却起着很大的作用。1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首次出现在科学文献中。从此，非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。该学科涉及非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。混沌通常相应于不规

2、则或非周期性，这是由非线性系统本质产生的。本实验将引导学生自己建立一个非线性电路，该电路包括有源非线性负阻、LC振荡器和RC移相器三部分；采用物理实验方法研究LC振荡器产生的正弦波与经过RC移相器移相的正弦波合成的相图（李萨如图），观测振动周期发生的分岔及混沌现象；测量非线性单元电路的电流—电压特性，从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解；学会自己制作和测量一个实用带铁磁材料介质的电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。1、非线性电路与非线性动力学实验电路如图30-1所示，图30-1中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线性

3、负阻器件。电感器L和电容器C2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R和电容器C串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。本实验所用的非01线性元件R是一个五段分段线性元件。图30-2所示的是该电阻的伏安特性曲线，可以看出加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。R0IRCR1CVRL2图29-1非线性电路原理图图29-2非线性元件伏安特性实验二十九混沌现象研究图30-1电路的非线性动力学方程为：dUC1C=G(U-U)-gU1C2C1C1

4、dtdUC2C=G(U-U)+i30-12C1C2LdtdiLL=-UC2dt式中，U、U是C、C上的电压，ｉ是电感L上的电流，G=1/R是电、C1C212L0导，在图5中，ｇ为U的函数，如果R是线性的，g是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数，电阻R的作用是调节C和C的位相差，把、012C和C两端的电压分别输入到示波器的x，y轴，则显示的图形是椭圆。如果R12是非线性的，会看到什么现象呢？电路中的R是非线性元件，它的伏安特性如图4所示，是一个分端线性的电阻，整体呈现出非线性。gU是一个分段线性函数。由于g总体是

5、非线性函C1数，三元非线性方程组（1）没有解析解。若用计算机编程进行数据计算，当取适当电路参数时，可在显示屏上观察到模拟实验的混沌现象[见参考资料（6）]。除了计算机数学模拟方法之外，更直接的方法是用示波器来观察混沌现象，实验电路如图5所示，图5中，非线性电阻是电路的关键，它是通过一个双运算放大器和六个电阻组合来实现的。电路中，LC并联构成振荡电路，R的作用是0分相，使J1和J2两处输入示波器的信号产生位相差，可得到x,y两个信号的合成图形，双运放LF353的前级和后级正、负反馈同时存在，正反馈的强弱与比值R/R，R/R有关

6、，负反馈的强弱与比值R/R，R/R有关。当正反馈大于负30602155反馈时，振荡电路才能维持振荡。若调节R，正反馈就发生变化，LF353处于0振荡状态，表现出非线性，从C，D两点看，LF353与六个电阻等效一个非线性电阻，它的伏安特性大致如图30-4所示。IR3R6836++71LF353LF35325--R50U4R2R4R1图29-4双运放非线性元件的伏安特性图29-3有源非线性器件2、有源非线性负阻元件的实现实验二十九混沌现象研究有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路采用两个运算放大器（一个

7、双运放LF353）和六个配制电阻来实现，其电路如图3所示，它的伏安特性曲线如图4所示，实验所要研究的是该非线性元件对整个电路的影响，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。实际非线性混沌实验电路如图30-5所示J(CH)J(CH)2211scopex-yCyxR0R6R3863++17LF353LF35352--CC12LR54R2R1R4图29-5非线性电路混沌实验电路3、名词解释本名词解释引自参考资料2中的附录3“简明词汇”。这些定义是描述性的，并非是标准数学定义，但有助于初学者对这些词汇的理

8、解。这些词汇定义多数是按相空间作出的。分岔：在一族系统中，当一个参数值达到某一临界值以上时，系统长期行为的一个突然变化。混沌：?表征一个动力系统的特征，在该系统中大多数轨道显示敏感依赖性，即完全混沌。?有限混沌；表征一个动力系统的特征，在该系统中某些特殊轨道是非周期的，但大多数轨道是周期或