2020版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第5讲定积分与微积分基本定理教案理（含解析）新人教A版

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1、第5讲　定积分与微积分基本定理基础知识整合1．定积分的概念在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．2．定积分的性质(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)．(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±.(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．3．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨

2、公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)

3、，即f(x)dx＝F(x)

4、＝F(b)－F(a)．1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.1．已知t是常数，若(2x－2)dx＝8，则t＝(　　)A．1B．－2C．－2或4D．4答案　D解析　由(2x－2)dx＝

5、8得，(x2－2x)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．2．(2019·南昌模拟)若dx＝3＋ln2(a＞1)，则a的值是(　　)A．2B．3C．4D．6答案　A解析　由题意可知dx＝(x2＋lnx)＝a2＋lna－1＝3＋ln2，解得a＝2.3．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(　　)A.B．2C.D.答案　C解析　由已知得l：y＝1，解方程组得交点坐标为(－2，1)，(2,1)．如图阴影部分，由于l与C围成的图形关于y轴对称，所以所求面积S＝2dx＝2＝2＝.4．(2019·海南模拟)已知f(

6、x)为偶函数且f(x)dx＝8，则－6f(x)dx等于(　　)A．0B．4C．8D．16答案　D解析　f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，因为原函数为偶函数，即其图象关于y轴对称，所以对应的面积相等，即f(x)dx＝f(x)dx，故所求为8×2＝16.5．(2019·南昌模拟)设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为________．答案　解析　f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3＋lnx＝＋lne＝.6．若(sinx－mcosx)dx＝m，则实数m＝________.答案　解析　(sinx－mcosx)dx＝(－cosx－msinx

7、)＝(0－m)－(－1－0)＝m，解得m＝.核心考向突破考向一　定积分的计算例1　计算下列定积分：(1)(3x2－2x＋1)dx；(2)dx；(3)

8、1－x

9、dx；(4)dx.解　(1)(3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)

10、＝24.(2)因为(lnx)′＝，所以dx＝2dx＝2lnx

11、＝2(ln2－ln1)＝2ln2.(3)若1－x≥0，则x≤1，若1－x＜0，则x＞1，于是

12、1－x

13、dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx＝

14、＋

15、＝1.(4)根据定积分的几何意义，可知dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的，故dx＝.触类旁通求定积分时应注意的

16、几点(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和.(7)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．即时训练　1.计算下列定积分：(1)dx；(2)(2x＋ex)dx；(3)cosxdx；(4)dx.解　(1)y＝，∴x2＋y2＝1，y≥0.∴dx几何意义为个圆的面积．∴dx＝.(2)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)

17、＝1＋e1－1＝e.(3)因为(sinx)′＝cosx，所以cosxdx＝sinx＝sinπ－sin0＝0.(4)因为(x2)′＝2x，′＝－，所以dx＝2xdx

18、＋dx＝x2

19、＋

20、＝.考向二　利用定积分求图形的面积角度　　求曲线围成平面图形的面积　　　　例2　(2019·榆林模拟)曲线y＝sinx与y＝x围成的封闭图形的面积为(　　)A．1－B．2－C.D．2＋答案　B解析　当x＝时，sin＝1，×＝1，故已知的两曲线在第一象限的交点坐标为，根据对称性，已知的两曲线在第三象限的交点坐标为，故两曲线所围成的封闭图形的面积为2dx＝2＝2＝2－.触类旁通求曲线围成平面图形面积的方法对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．即时训练　2.由抛

21、物线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2及x轴围成的图形面积为________．答案