实变函数N维空间中的点集习题讲解

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1、习题讲解第二章n维空间中的点集1开集减闭集的差集是开集，闭集减开集的差集是闭集证明：利用A-B=A∩Bc，开集的余集是闭集，闭集的余集是开集，以及有限个开集的交仍是开集，有限个闭集的交仍是闭集即得。2每个闭集必是可数个开集的交，每个开集必是可数个闭集的并任取证明：设E为闭集，取则Gn为开集，再由E为闭集，可得x∈E从而每个闭集必是可数个开集的交，从而通过取余集,即得每个开集必是可数个闭集的并.任取3设f(x)是直线上的实值连续函数，则对任意常数a，E={x

2、f(x)>a}是开集，而E1={x

3、f(x)≥a}是闭集要证E={x

4、f(x)>a}是开集，只要证Ｅ中的

5、点都为内点()x０f(x0)+εf(x0)f(x0)-εa由f(x)在x0处连续及极限的保号性知，存在δ>0,当

6、x-x0

7、<δ时,有f(x)>a证明：任取x0∈E={x

8、f(x)>a},则f(x0)>a,类似可证{x

9、f(x)

10、f(x)≥a}={x

11、f(x)

12、f(x)>a},即x0为E的内点，从而E为开集；3设f(x)是直线上的实值连续函数，则对任意常数a，E1={x

13、f(x)>a}是开集，而E={x

14、f(x)≥a}是闭集注：用到了极限保持不等号前面的证明用了极限的保号性另证：要证E={x

15、f(x)≥

16、a}是闭集，只要证任取x0∈E'={x

17、f(x)≥a}',则存在E中的点列{xn},使得由f(x)在x0处连续及f(xn)≥a，可知f(x0)≥a所以x0∈{x

18、f(x)≥a},从而{x

19、f(x)≥a}是闭集，类似可证{x

20、f(x)≤a}为闭集,从而{x

21、f(x)>a}={x

22、f(x)≤a}c是开集4f(x)是直线上的连续函数当且仅当对任意实数a，E={x

23、f(x)≤a}和E1={x

24、f(x)≥a}都是闭集证明：我们只要证明充分性：4f(x)是直线上的连续函数当且仅当对任意实数a，E={x

25、f(x)≤a}和E1={x

26、f(x)≥a}都是闭集另证：我们只要证明充分性

27、：5设f(x)在O(x0,δ)上有定义，称为f(x)在x0处的振幅，若f(x)在开集G上定义，则对任意实数t，点集为开集f(x)在区间(a,b)上的振幅（　　　）x０随δ的减少而减少５的证明G振幅小于t的点全体为开集的证明G6设f(x)在E上有定义，称为f(x)在x0∈E处的振幅，若f(x)在闭集E上定义，则对任意实数t，点集为闭集说明：5与6不能通过取余集而由一个的证明立即得到另一个的证明；因为定义域已限制好，在定义域的外面函数没有取值。证明：振幅大于等于t的点全体为闭集的证明x0δxδ'