数学模型讲稿2013.6

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1、东华理工大学数学建模1从现实对象到数学模型2数学建模的方法和步骤3差分方程模型（购房贷款问题）4线性规划模型5要求与考核玩具、照片、飞机、火箭模型……~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机……~物理模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征1.从现实对象到数学模型我们常见的模型数学模型由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。你碰到过的数学模型——“航行

2、问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.例1、甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解航行问题建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20,y=5）；回答原问题（船速每小时20千米/小时）。例2商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人

3、3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=

4、y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~决策D={(u,v)u+v=1,2}~允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=skdk+(-1)k~状态转移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题模型求解xy3322110穷举法~编程上机图解法状态s=(x,y)~16个格点~10个点允许决策~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，

5、d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况d1d11允许状态S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数2、数学建模

6、的方法和步骤数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的“问题”模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折衷模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤模型求解各种数学方法：解方程、画图形、优化方法、统计分析等.软件和计算机技术.如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析.模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检

7、验模型的合理性、适用性.模型应用数学建模的一般步骤3、差分方程模型(住房贷款问题)个人住房商业抵押贷款年利率表贷款期限1年2年3年4年5年利率R（％）6.1206.2556.3906.5256.660个人住房商业抵押贷款(1万元)还款表贷款期年12345月1224364860月还款额到期一次还清444.356305.9896237.2649196.4118本息总额10612.010664.5411015.6311388.7111784.71某银行住房商业抵押贷款利率如下表所示建立模型(差分方程)则由Ak

8、到Ak+1，应有Ak+1＝Ak+rAk-m即Ak+1＝(r＋1)Ak-m(k=0,1,…)其中r为利息，当然应该用月利率（2年期为例）r=R/12＝0.06255/12＝0.0052125设贷款后第k个月时欠款余数为Ak,月还款额m元另外显然有A0＝10000分析求解●月还款额的确定令Bk＝Ak－Ak－1,(k＝1，2,...)推得Bk+1＝(1+r)Bk(等比)从而Bk＝B1(1+r)k－1利用以上关系导出A0＝10000,k＝24,A2