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《（新课程）高中数学《1.1.3导数的几何意义》教案新人教A版选修2-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§1.1.3导数的几何意义教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像直观地理解导数的儿何意义，并会用导数的儿何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的儿何意义；教学难点：导数的儿何意义.教学过程：一.创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f（x）在尸心处的瞬吋变化率，反映了函数y=Kx）在尸心附近的变化情况，导数广（兀°）的几何意义是什么呢？二.新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：姻3.1-2,当£（£J（£））（m=1,2,3,4）沿着曲线/（兀）趋近丁点PgJ©。））时，
2、割线卩人的变化趋势是什么？图3.1-2我们发现，当点Pn沿着曲线无限接近点PWAX-0时,割线戶門趋近于确定的位置，这个确左位置的直线称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线P化的斜率心与切线刃的斜率k有什么关系？⑵切线的斜率k为多少？容易知道，割线p乙的斜率是〈=，当点丘沿着曲线无限接近点戶时，〈无£一兀0限趋近于切线〃的斜率k,即£=lim•/（"+—•/（"））=厂（）wo心°说明（1）设切线的倾斜角为5那么当A/-0时,割线PQ的斜率，称为曲线在点户处的切线的斜率.这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的-•种方法；②切线斜率的本质一函数在x=仏处的导数.（2）曲线在某点处的切线：
3、1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解•如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线;3）曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，其至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y=f（x）在尸必处的导数等于在该点（兀（），/（x（）））处的切线的斜率，°山TO心说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：①求出P点的处标；②求出函数在点观处的变化率广（x0）=lim/^o+^）-/（^o）=k,得到曲线在点△o（）Ax（x0,/（x0））的切线的斜率；③利川点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数代力在尸X。处求导数的过程可以看到，当
4、时，广（勺）是一个确定的数，那么，当x变化时，便是x的一个函数，我们叫它为的导函数.记作：广（x）或）1即：广⑴+m—心t°Ax注：在不致发生混淆吋，导函数也简称导数.（三）函数.f（x）在点X。处的导数广（X。）、导函数广（兀）、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数广（兀0），就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f（x）的导函数3）函数/（兀）在点X。处的导数f（兀。）就是导函数广（％）在x=x0处的函数值，这也是求函数在点x0处的导数的方法之-。三•典例分析例1:（1）求曲线尸代劝二
5、/+1在点戶（1,2）处的切线方程.limAxtO[(]+心)2+1]_(12+1)（2）求函数尸3,在点（1,3）处的导数..2Ax+Ax2=lim山toAx所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为y-2=2（x-l）即2x—y=O(2)因为y'lvH=lim3v"3，1=lim""」)=lim3(x+1)=6XT1X—1XT1X—1XT1所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为y-3=6（x-l）即6x—y—3=0（2）求函数f^=-x2+x在兀=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.解：型「(-1+3+(-1+心)-2=3一心AxAx广（_1）=恤型=一—+心
6、），+（-+心）一2=恤（3-心）=320AxAxXT0例2.（课本例2）如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的苗数递减.（3）当t=t2时,曲线％）在『2处的切线厶的斜率W2）＜0,所以,在/“2附近曲线下降，即函数/i(x)=-4.9x2+6.5x+10在t=t2附近单调递减.从图3.1-3可以看出，直线厶的倾斜程度小于直线厶的倾斜程度，这说明曲线在儿附近比在匚附近卞降的缓慢.例3.(课本例3)如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度c=f(t)(单位:mg/mL)随时间/(单位：min)变化的图象.根据图像，估计20.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化
7、率(精确到0.1).c(mg/mL).7.6.5A32oooooO解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是纱物浓度.f(r)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线/⑴在此点处的切线的斜率.如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91),(1.0,0.48),则它的斜率为：f0.48-0.91,,k=«-1.41.0
