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《初中数学竞赛专题辅导-因式分解(一)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、因式分解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学zm,是我们解决许多数学问题的有力工具•因式分解方法灵活,技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着I•分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.1.运用公式法在整式的乘、除屮，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2a
2、b+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再补充几个常用的公式：(5)a'+b'+c~+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+bl+c-3abc=(a+b+c)(a2+b'+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(計+^%+尹厅+…+此叫旷)其中n为正整数；(8)an-b-(a+b)(矿"叫+聲廿-・・・+&宵.閃),其中n为偶数;(9)an+b-(a+b)(a-^a^b+a^b2ab^+b"'1),其中n为奇数.运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字
3、母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.例1分解因式：(1)-2x5n_,yn+4x:Jn_1yn^2xn_1ynM；(2)x:i-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；⑷ar-a5b2+a^bs-b7・解⑴原式=-2xn-,yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-'yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2xll-yn(x2n-y2)2=-2xn"yn(xn-y)2(xn+y)2.⑵原式二x讦(-2y)彳+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).(3)原式二(a2-2
4、ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2=(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2・木小题可以稍加变形，直接使用公式(5),解法如下:原式二a'+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)'(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a'-a'b+a'b'-ab+b')二(a+b)2(a-b)(占如b+^bSb计b‘)例2分解因式：a3+b3+c3-3abc.本题实际上就是用因式分解的方法证明而面给出的公式(6).分析我们已经知道公
5、式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b:{的正确性，现将此公式变形为a'+b-(a+b)'-3ab(a+b)・这个④式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c:-3abc=[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c‘]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-cib-bc-ca).说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论,例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc=£(a+b+c)(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)
6、=£(a+b+c)[(a-b)24-(b-c)2+(c-a)2].显然，当a+b+c二0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c>0时•，则a3+b3+c3-3abcMO,即a：i4-b'+c3>3abc,而且，当且仅当a=b=c吋，等号成立.如果令x=a：20,y二b：20,z二c：20,则有等号成立的充要条件是x二y二z・这也是一个常用的结论.例3分解因式：x「+x"+x"+…+x'+x+l・分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项胪开始，x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式屮b"來分解.解因为xI6-l=(x-l)(x15+x:l+x1:>,+---x2+x+
7、l),所以古(X-l)(x15+X14+X13+••*+x2+X+1)X16-1原式=ri=冷(x8+l)(x4+1)(/+l)(x+l)(x-1)=(x8+1)(*+1)(/+1)仗+1).说明在木题的分解过程中，用到先乘以(X-1),再除以(x・l)的技巧，这一技巧在等式变形屮很常用.1.拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将儿个同类项合并为一项，或将两个仅符号和反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需耍恢复那些被合并或相互抵消的项，即把
