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1、附录I短阵分析介绍一、内容提要木章以矩阵序列的极限理论为基础的，介绍矩阵分析的一些基木内容，包括矩阵序列的极限运算，矩阵序列和矩阵级数的收敛定理，矩阵幕级数的极限运算和矩阵函数，矩阵的微积分等.由丁•采用相似的极限理论为基础，因此本章内容M通常的（函）数列，（函）数项级数,抵级数具有许多类似的结果，建议读者在学习本章时，与高等数学中相应的内容进行对照,比较异同，加深理解.（-）矩阵序列于矩阵级数1.矩阵序列定义设｛A&｝二为C"x"中的矩阵序列，其中A严（硝））・如果lim^=6/..对i=l,2,..・,gj=l,2,..」均成立，则称矩阵序列｛A讣二收敛，而=（a..）称为
2、矩阵序列｛Aj；=1的极限，记为limA,=A.不收敛的矩阵序列称为发散的・从定义可知，判断矩阵序列收敛需要判断所有矩阵元素组成的mxn个数列同吋收敛.下面的定理告诉我们可以通过矩阵范数的收敛（一个数列）來判断矩阵序列的收敛.定理设仏讣二为中的矩阵序列，
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4、・
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6、为中的一•种矩阵范数，则矩阵序列｛A讣二收敛于矩阵A的充要条件是
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8、A&-A
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10、收敛于零.从线性空间的观点來看，一个矩阵可以看作是它所在的矩阵空间中的一个“点”，因此—•个矩阵序列的收敛问题就可以看成是该矩阵空间中的“点列”的收敛问题，就可以用各点到极限点的距离（范数）來描述收敛。矩阵序列收敛有如下性质:（1）设｛A讣二
11、和｛B讣二为C〃x"中的矩阵序列，并且limA严A,limB严B,则lim（6ifAA+）=aA+0B,/a,/3eC・（2）设｛A,｝；=1和｛B&｝；=1分别为CT"和C/,x/中的矩阵序列，并且limA,=A,limBA.=B,贝ijlimAABA.=AB.AT8&T8（3）设｛AJ；=I,AgCxw«
12、>的矩阵序列，lirnA,=A并且伙=1,2,…）和A均为可逆的，贝ijlimA^1=A-1.*T8（4）设AwCnxn,limA'0的充分必要条件是p（A）<1・若对Cwxw上的某种范数
13、
14、-
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16、,有口<1,贝iJlimA"=0.1斤一>8（5）设｛A£
17、，Ae严,并f
18、ilimA,=A,则阿徘1.矩阵级数定义2设｛A讣二为C'”x"中的矩阵序列，称AH2+…+A斤+…为由矩阵序列｛A讣二构成的矩阵级数，记为ZA,.k=l定义3记S&=£A「称之为矩阵级数斤的前k项部分和.若矩阵序列｛S讣二收敛且/=1A=1limSA=S&T8则称矩阵级数工A«收敛，而矩阵S称为矩阵级数的和矩阵，记为s=£a,.不收敛的矩阵级数称为发散的.k=定义4设£a&为©呦中的矩阵级数，其中A严（硝））.如果£硝）对任意的1主％k=lk=oo旧引均为绝对收敛的，贝ij称矩阵级数工A«绝对收敛.对比矩阵级数绝对收敛的定义以及高等数学中的数项级数的绝对收敛的定义可以得出矩
19、阵级数收敛的一些性质.(1)若矩阵级数是绝对收敛，则它一定是收敛的，并R任意调换各项的顺序所k=l得到的级数还是收敛的，且级数和不变.(2)OOoo矩阵级数£aa.为绝对收敛的充分必要条件是正项级数£
20、
21、aj
22、收敛.斤=1k=(3)设为C'”x〃中的绝对收敛的级数，£Br为C"灯中的绝对■收敛的级数，并且&=1k=OOOOOOOOa=£a,,b=£ba,则按任何方式排列得到的级数也是绝对收敛k=心1il=l心1的,且和均为AB.(4)设PeCpxm和QwC"“为给定矩阵，如杲mxn型矩阵级数乞仏收敛（或绝对*=0收敛)，则pxq矩阵级数£PAAQ也收敛(或绝对收敛)，且有等
23、式k=0(二)矩阵幕级数oo定理设为收敛半径为厂的幕级数，A为/7阶方阵，则8(1)p(A)r时，矩阵幕级数工akP发散.k=()推论设£%(z-z(y为收敛半径为尸的幕级数，A为刃阶方阵，如果A的特征值均k=0落在收敛圆内，BU
24、/l-z0
25、26、>r，则幕级数£务(A-z(/)“发散.Jt=O根据幕级数性质，幕级数的和函数是收敛圆内的解析函数(任意次可微，在任一点处均可展成Taylor级数)，而一个圆内解析的函数
27、可以展开成收敛的幕级数.于是，如果/(z)是z-z0
28、29、z-z0
30、
