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1、附录I矩阵分析介绍一、内容提要本章以矩阵序列的极限理论为基础的，介绍矩阵分析的一些基本内容,包括矩阵序列的极限运算，矩阵序列和矩阵级数的收敛定理,矩阵幂级数的极限运算和矩阵函数，矩阵的微积分等.由于采用相似的极限理论为基础,因此本章内容与通常的(函)数列,(函)数项级数,幂级数具有许多类似的结果,建议读者在学习本章时,与高等数学中相应的内容进行对照,比较异同,加深理解.(一)矩阵序列于矩阵级数1．矩阵序列定义设为中的矩阵序列，其中．如果对i=1,2,…,m,j=1,2,…,n均成立，则称矩阵序列收敛，而称为矩阵序列的极限，记为
2、.不收敛的矩阵序列称为发散的.从定义可知,判断矩阵序列收敛需要判断所有矩阵元素组成的个数列同时收敛.下面的定理告诉我们可以通过矩阵范数的收敛(一个数列)来判断矩阵序列的收敛.定理设为中的矩阵序列，为中的一种矩阵范数，则矩阵序列收敛于矩阵的充要条件是收敛于零．从线性空间的观点来看,一个矩阵可以看作是它所在的矩阵空间中的一个“点”，因此一个矩阵序列的收敛问题就可以看成是该矩阵空间中的“点列”的收敛问题，就可以用各点到极限点的距离（范数）来描述收敛。矩阵序列收敛有如下性质:（1）设和为中的矩阵序列，并且，，则．（2）设和分别为和中的
3、矩阵序列，并且，，则．（3）设，中的矩阵序列，并且和均为可逆的，则．（4）设，的充分必要条件是．若对上的某种范数，有，则.（1）设，，并且，则.2.矩阵级数定义2设为中的矩阵序列,称为由矩阵序列构成的矩阵级数，记为．定义3记，称之为矩阵级数的前k项部分和.若矩阵序列收敛且，则称矩阵级数收敛，而矩阵称为矩阵级数的和矩阵，记为．不收敛的矩阵级数称为发散的.定义4设为中的矩阵级数，其中．如果对任意的1≤i≤m,1≤j≤n均为绝对收敛的，则称矩阵级数绝对收敛.对比矩阵级数绝对收敛的定义以及高等数学中的数项级数的绝对收敛的定义可以得出矩
4、阵级数收敛的一些性质.（1）若矩阵级数是绝对收敛，则它一定是收敛的，并且任意调换各项的顺序所得到的级数还是收敛的，且级数和不变.（2）矩阵级数为绝对收敛的充分必要条件是正项级数收敛.（3）设为中的绝对收敛的级数，为中的绝对收敛的级数，并且,,则·按任何方式排列得到的级数也是绝对收敛的，且和均为．（4）设和为给定矩阵，如果型矩阵级数收敛（或绝对收敛），则矩阵级数也收敛（或绝对收敛），且有等式．(二)矩阵幂级数定理设为收敛半径为的幂级数，为阶方阵，则（１）时，矩阵幂级数绝对收敛；（２）时，矩阵幂级数发散.推论设为收敛半径为的幂级数
5、，为阶方阵，如果的特征值均落在收敛圆内，即，其中为的任意特征值，则矩阵幂级数绝对收敛；若有某个使得，则幂级数发散．根据幂级数性质，幂级数的和函数是收敛圆内的解析函数（任意次可微，在任一点处均可展成Taylor级数），而一个圆内解析的函数可以展开成收敛的幂级数．于是，如果是内的解析函数，其展成绝对收敛的幂级数为，则当矩阵的特征值落在收敛圆内时，定义并称之为关于解析函数的矩阵函数.常用的一些矩阵函数有:；；;;.对于一般的矩阵函数,可以利用矩阵的Jordan分解写出其具体表达式.定理设为收敛半径为的幂级数，为阶方阵，为其Jorda
6、n分解，．当的特征值均落在收敛圆内时，即，其中为的任意特征值，则矩阵幂级数绝对收敛，并且和矩阵为其中的定义为.另外，还可以通过待定系数的方法来求矩阵函数，避免求矩阵的Jordan分解。由矩阵的Hamilton-Caylay定理，对于阶方阵，假设其特征多项式为，则有。另一方面，对于解析函数，它可以表示为收敛半径为的幂级数，于是得到，其中是一个比次数低的多项式，记为，则当时，。这样，只需计算次矩阵多项式即可得到矩阵函数。而的系数可以通过待定系数的方法得到，假设是的重特征根（），注意到.根据这个方程，得到一个以为未知数的线性方程组。
7、事实上，这即为以为插值节点的Hermite插值，因此方程组有唯一解。进一步，如果得到的最小多项式，则类似有，而且，此时的余式的次数可以更低，使得计算更为简单。对于函数满足的恒等式，只要能保证等式两边的矩阵函数同时为收敛的矩阵幂级数，则可以得到相应的矩阵函数恒等式，例如可以证明（Ⅰ），总有（1）（2），，（Ⅱ），且，则（1）（2）若，则，(三)函数矩阵的微积分1相对于数量变量的微分和积分定义5如果矩阵的每一个元素在上均为变量的可微函数，则称可微，且导数定义为．定理4设、是可进行运算的两个可微矩阵，则以下的运算规则成立（1）；（2
8、）；（3），其中为任意常数.(4)当关于可微时，有(5)当为可微矩阵时，有由于仍是函数矩阵，如果它仍是可导函数矩阵，则可定义其二阶导数。不难给出函数矩阵的高阶导数：定理5设n阶方阵与t无关，则有（1）；（2）；（3）．定义6如果矩阵的每一个元素都是区间[t0,t1]上的可积函
