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《高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2.1实际问题中导数的意义学.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、4.2.1实际问题中导数的意义理数材自爻白測as-＜础“习区I课标解读1.利用实际问题加强对导数概念的理解.■2.能利用导数求解有关实际问题-•实际问题中导数的意义【问题导思】问题：某人拉动一个物体前进，他所做的功必单位：J)是时间"单位：S)的函数，设这个函数可以表示为障=/f(t)=尸一412+lot.(1)十从1s到4s时朋关于十的平均变化率是多少？(2)上述问题的实际意思什么？(3)r(1)的实际意义是什么？■屮一./、伊(4)一伊(1)40-7/,、[toizK1(1)4—]=11(J/s)■(2)它表示从t=ls到t=s这段时间内，这个
2、人平均每秒做功11J.(3)r&)=3#—8广+10.沪(1)=5表示在t=s时每秒做功5J.1.在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率,它的单位是瓦特,功率是功关于时间的导数.2.在气象学中，通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度.它是反映一次降雨大小的重要指标.降雨强度是降雨量关于时间的导数.3.在经济学屮，通常把生产成本关于芒量的函数的导数称为边际成本.合作探究区»■导数在物理学中的意义►例H某质点的运动方程为s=s(r)=2产+37其屮S是位移伸位：ni),t是时间(单位：s).(1)求当广从1s变到3s时，位移s关于时间方的平均变化率
3、，并解释它的实际意义;(2)求当s，(1),s，(2),并解释它们的实际意义.△s【思路探究】(1)套用H公式即可求出平均变化率，即该质点在该段时间内的平均速度；(2)求出导数s'(Z),它表示Z时刻该质点的瞬时速度.Ae€(2)—€(])【自主解答】(1)当广从1S变到3s时,s关于£的平均变化率为石=—27-5z,、=3—]=11(山/s)•它表示从t=s到Z=3s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11m.(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s'(r)=41+3,则s'(1)=4+3=7(m/s),s'(2)=4X2+3=11(m/s).s'
4、(1)表示的是该质点在t=s时的瞬时速度，也就是该质点在r=ls这个时刻的瞬时速度为7m/s.s'⑵表示的是该质点在F=2s时的瞬时速度，也就是该质点在Q2s这个时刻的瞬时速度为11m/s.I规律方法I根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系，功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的导数为电流强度等.因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解.某河流在一段时I、可xmin内流过的水量为yy是x的函数，y=f{x)=y[x.⑴当x从1变到8吋，y关于x的平均变化率是多少
5、？(2)求尸(27),并解释它的实际意义.【解】(1)当x从1变到8时，y关于无的平均变化率为2-117=7(m7min),它表示时间从1min增加到8min的过程中，每增加1min水流量平均增加*19121(2)f3=-^—于是F(27)=§X27—§=^(m'/niin),实际意义为当吋间为27min吋，水流量增加的速度为召n?/min,也就是当时间为27min时，每增加1min,水流量增加右m.圏■导数在经济生活中的意义某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本c(元)与日产量班件)的函数关系为C3=»+60卄20
6、50.求(1)当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义；(2)当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义.【思路探允】(1)利用函数平均变化率计算，然后结合实际问题解释.(2)用瞬时变化率的意义解释.【自主解答】⑴当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)=2675元变到0(20)=3350元.此吋总成本的平均改变量为"役0【雪⑹=67.5(元/件),其表示产量从^=10件提高到^=20件吋平均每件产品的总成本的改变量.(2)VC3=*卄60,:,C(75)=*X75+60=97.5(元/件)，它指的是当产量为7
7、5件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元.I规律方法I生产成本y关于产量％的函数y=fx)中，f(心)指的是当产量为禺时，生产成本的增加速度，也就是产量为必时，每增加一个单位的产量，需增加f(xo)个单位的成本.•娈it训塩建造一幢长度为%m的桥梁需成本y万元，函数关系为y=f(x)=令(/+x+3)(%>0).(1)当x从100变到200时，平均每米的成本为(2)r(100)=,其实际意义为.【解析】(1)/(100)=1010.3,A200)=4020.3,.f(200)(100)*200-100=30.1(万元/m),即平均变化率为30
8、.1万元/m.(2)尸(力=令(2/+1),F(100)=20.1(万元/m),即当长度为100m时，每增加
