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《千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第74炼利用几何关系求解圆锥曲线问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、利用几何关系求解最值问题一、基础知识:1、利用儿何关系求最值的一般思路：（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到。因为当动点与定点不共线吋，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,无法取得最值。所以只有共线时才有可能达到最值。要注意动点与定点相对位置关系。一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上。（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系
2、进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置。2、常见的线段转移：（1）利用对称轴转移线段（详见例1）（2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移。（3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化。（4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为
3、常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径（5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一・条焦半径（注意点在双曲线的哪一支上）3、与圆相关的最值问题：（1）已知圆C及圆外一定点P,设圆C的半径为厂则圆上点到P点最短的为与该直径垂直的弦MN解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为AB=2^lr2-d2,若
4、AB
5、最小，则d要取最大，在圆+CP为定值，在弦绕P旋转的过程屮，d＜CP,所以d=CP时,AB最小（3）已知圆C和圆外的一条直线儿则圆上点到直线距离的最小值为
6、PM
7、=d—-r，距
8、离的最大值为
9、PN
10、=dc_t+r（过圆心C作/的垂线，垂足为P,CP与圆C交于其反向延长线交圆C于N丄（4）己知圆C和圆外的一条直线/,则过直线Z上的点作圆的切线，切线长的最小值为
11、PMN・••过P作圆的切线，则切线长
12、PM
13、最短解：
14、PM
15、=J
16、C/f—,则若最小，则只需
17、CP
18、最小即可,所以P点为过C作/垂线的垂足时，
19、CP
20、最小4、与圆锥曲线相关的最值关系:（1）椭圆：22设椭圆方程为2+：=l（d＞〃＞0）atr①焦半径：焦半径的最大值为d+c,最小值为a-c②焦点弦:2b2焦点弦长的最小值称为通径，为二
21、此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直2X（2）双曲线：设双曲线方程为二•-*=l(a>0,b>0)①焦半径：焦半径的最小值为d-c,无最大值2b2②焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为二此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直（3）抛物线：设抛物线方程为y2=2px①焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即上2②焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为2〃二、典型例题:例］:己知在平面直角坐标系中，点A（—1,1）,B（3,4）,P为兀轴上一动点,则
22、PA
23、+
24、PB的最小值为思路：从所
25、求可联想到三点不共线时，三角形两边之和大于第三边（而三点共线时可能相等），由已知可得：AB=5f但从图像上发现无论P在何处，•■b•ff.-f1<▲阳+阳））min=AB=y/4,即PA+PB}.二阿I‘min
26、pa
27、+
28、pb
29、>
30、ab
31、,无法取到等号。（即使P,A,B共线时等号也不成立），为了取到最值。考虑利用对称转移所求线段。作A关于兀轴的对称点A,从而有AP=AP,所以
32、PA
33、+
34、PB
35、转化为PA+
36、"
37、,可知当A：P,B三点共线时,答案：V41小炼有话说：（1）三点共线取得最值的条件：动点位于两定点之
38、间时，则距离和取到最小值。同理；当动点位于两定点同一侧时，距离差的绝对值取到最大值。（2）处理线段和（差）最值问题时，如果已知线段无法找到最值关系，则可考虑利用“线段转移法”，将某一线段替换成另一长度相等线段，从而构造出取得最值的条件例2：设抛物线y2=4x上一点P到此抛物线准线的距离为％,到直线/:3x+4y+12=0的距离为仏，则必+乩的最小值为（）A.3B.—C.—D.455思路：通过作图可观察到直接求的最值比较困难，所以考虑转移某个距离，由已知可得£为P到准线的距离，所以可根据抛物线定义转移为（其中F是抛物
39、线的焦点,F（1,O））,所以J1+J2=
40、PF
41、+J2,—3-1+12I观察图像可得：
42、"
43、+〃2»心_=—-~=3答案：A例3：已知过抛物线y2=4x的焦点F的弦与抛物线交于A,3两点，过分别作y轴的垂线，垂足分别为C,D,则AC+BD的最小值为思路：设抛物线的准线为/,由抛物线y2=4x可知/:x=-l,观察图像可知
44、AC
45、=dA_j-1,
46、BD
47、=d
