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《初中数学竞赛全辅导第二十三讲圆与圆》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第二十三讲冒与圜3圆与圆的位苴关系有外离、外切、相交、內切、內含五种情形，判定两圆的位苴关系有如下三种方法：31.通过两圆交点的个数确定；32.通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；“3.通过两圆的公切线的条数确定・a为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这杲解圆与圆位苴关系间题的常用辅助线.“熟悉以下基本图形、基本结论：“【例题求解】【例1】如图，OOi与半径为4的002内切于点A,OOi经过圆心02,作002的直径BC交OOi于点D,EF为过点A的
2、公切线，若02D=2V2,那么ZBAF二度.（重庆市中考题）思路点拨直径、公切线、02的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连00必过A点，先求出ZD02A的度数.注：（D两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通.同时，又是牛成圆幕定理的重耍因素.（2）涉及两関位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集屮，通过解直角三介形求解.【例2】如图,00】与002外切于点A,两圆的一条外公切线与OD相切于点B,若AB
3、与两圆的另一条外公切线平行，则OOi与OO2的半径之比为（）A.2：5B.1：2C.1：3D.2：3（全国初屮数学联赛试题）思路点拨添加辅助线，要探求两半径Z间的关系，必须求II1ZC0.02(或ZDOQ)的度数，为此需寻求ZCOB、ZC0A、ZBOiA的关系.【例3】如图，己知OOi与(DO?相交于A、B两点，P是00.±一点，PB的延长线交002于点C,PA交。02于点D,CD的延长线交于点N.⑴过点A作AE//CN交。0】1于点E,求证：PA二PE；(2)连结PN,若PB=4,BC=2,求PN的长.(垂庆市屮考题
4、)思路点拨(1)连AB,充分运用与圆相关的角，证明ZPAE=ZPEA；(2)PB•POPD•PA,探寻PN、PD、PA对应三角形的联系.【例4】如图,两个同心圆的圆心是0,AB是大圆的直径,大圆的弦与小圆相切于点D,连结0D并延长交大関于点E,连结BE交AC于点F,已知AC=4血，大、小两圆半径差为2.(1)求大岡半径长；(2)求线段BE的长;(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切.（宜宾市屮考题）思路点拨（1）设人圆半径为R,则小圆半径为R-2,建立R的方程；（2）证明△EBC^AECF；（3）过B、F、C三点的
5、圆的圆心0’，必在BF上，连O'C,证明Z0‘CE=90°.注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识.作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键.【例5】如图，AOB是半径为1的单位岡的四分半鬪0：的鬪心在0A上，并与弧AB内切于点A,半恻。2的恻心02在0B±,并与弧AB内切于点B,半圆6与半圆02相切，设两半圆的半径之和为兀,面积之和为y・（1）试建立以x为自变量的函数y的解析式；（2）求函数y的最小值.（太原市竞赛题）思路点拨设两圆半径分
6、别为R、r,对于⑴,尸丄兀（以+宀,通过变形把吟甘用“x=R+r”的代数式2表示，作出基本辅助线；对于（2）,因兀二R+r,故是在约束条件下求y的最小值，解题的关键是求出R+r的取值范围.0注：如图,半径分别为r、R的OOi.002外切于C,AB,CM分别为两圆的公切线,0心与AB交于P点,则：(1)AB二2仮7；(2)ZACB^ZOiM02=90°；(3)PC2=PA・PB；(4)sinP二；R+r(5)设C到AB的距离为d,则丄+丄=2rRd学力训练1.已知：00】和002交于A、B两点,H.0O1经过点02,若Z
7、A0iB=90°,则ZA02B的度数是.2.矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外,那么圆A的半径r的取值范围・（2003年上海市中考题）3.如图;OOi.00411交于点A、B,现给出4个命题:⑴若AC是002的切线且交00】于点C,AD是00】的切线且交002于点D,则AB2=BC-BD；（2）连结AB、OiO2,若OiA=15cm,O2A二20cm,AB二24cm,则0心二25cm；（3）若CA是OOi的直径，DA是002的一条非直径的弦，且点D、B不重
8、合，则C、B、D三点不在同-•条直线上,（4）若过点A作OOi的切线交OO2于点D,直线DB交OOi于点C,直线CA交00厂于点E,连结DE,则DEM）B・DC,则正确命题的序号是（写出所冇正确命题的序号）.（厦门市屮考题）（第3題）1.如图，半圆0的一直径AB二4,与半圆0内切的动圆0与AB切于点M,设00】的半径为y,AM的长
