初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第23讲 圆与圆

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1、第二十三讲圆与圆圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形,判定两圆的位置关系有如下三种方法:1.通过两圆交点的个数确定;2.通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定;3.通过两圆的公切线的条数确定.为了沟通两圆,常常添加与两圆都有联系的一些线段,如公共弦、共切线、连心线,以及两圆公共部分相关的角和线段,这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线.熟悉以下基本图形、基本结论:【例题求解】【例1】如图,⊙Ol与半径为4的⊙O2内切于点A,⊙Ol经过圆心O2,作⊙O2的直径BC交⊙Ol于点D,EF为过点A的公切线,若O2D=,那么∠BAF=度.思路点拨直径

2、、公切线、O2的特殊位置等,隐含丰富的信息,而连O2Ol必过A点,先求出∠DO2A的度数.注:(1)两圆相切或相交时,公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线,它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通.同时,又是生成圆幂定理的重要因素.(2)涉及两圆位置关系的计算题,常作半径、连心线,结合切线性质等构造直角三角形,将分散的条件集中,通过解直角三角形求解.【例2】如图,⊙Ol与⊙O2外切于点A,两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B,若AB与两圆的另一条外公切线平行,则⊙Ol与⊙O2的半径之比为()A.2:5B.1:2C.1:3D.2:3

3、思路点拨添加辅助线,要探求两半径之间的关系,必须求出∠COlO2(或∠DO2Ol)的度数,为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系.10【例3】如图,已知⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点,P是⊙Ol上一点,PB的延长线交⊙O2于点C,PA交⊙O2于点D,CD的延长线交⊙Ol于点N.(1)过点A作AE∥CN交⊙Oll于点E,求证:PA=PE;(2)连结PN,若PB=4,BC=2,求PN的长.思路点拨(1)连AB,充分运用与圆相关的角,证明∠PAE=∠PEA;(2)PB·PC=PD·PA,探寻PN、PD、PA对应三角形的联系.【例4】如图,两个同心圆

4、的圆心是O,AB是大圆的直径,大圆的弦与小圆相切于点D,连结OD并延长交大圆于点E,连结BE交AC于点F,已知AC=,大、小两圆半径差为2.(1)求大圆半径长;(2)求线段BF的长;(3)求证:EC与过B、F、C三点的圆相切.思路点拨(1)设大圆半径为R,则小圆半径为R-2,建立R的方程;(2)证明△EBC∽△ECF;(3)过B、F、C三点的圆的圆心O′,必在BF上,连OˊC,证明∠O′CE=90°.注:本例以同心圆为背景,综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识.作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的

5、关键.10【例5】如图,AOB是半径为1的单位圆的四分之一,半圆O1的圆心O1在OA上,并与弧AB内切于点A,半圆O2的圆心O2在OB上,并与弧AB内切于点B,半圆O1与半圆O2相切,设两半圆的半径之和为,面积之和为.(1)试建立以为自变量的函数的解析式;(2)求函数的最小值.思路点拨设两圆半径分别为R、r,对于(1),,通过变形把R2+r2用“=R+r”的代数式表示,作出基本辅助线;对于(2),因=R+r,故是在约束条件下求的最小值,解题的关键是求出R+r的取值范围.注:如图,半径分别为r、R的⊙Ol、⊙O2外切于C,AB,CM分别为两圆的公切线,Ol

6、O2与AB交于P点,则:(1)AB=2;(2)∠ACB=∠OlMO2=90°;(3)PC2=PA·PB;(4)sinP=;(5)设C到AB的距离为d,则.学力训练1.已知:⊙Ol和⊙O2交于A、B两点,且⊙Ol经过点O2,若∠AOlB=90°,则∠AO2B的度数是.2.矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分别以A、C为圆心的两圆相切,点D在圆C内,点B在圆C外,那么圆A的半径r的取值范围.(2003年上海市中考题)3.如图;⊙Ol、⊙O2相交于点A、B,现给出4个命题:10(1)若AC是⊙O2的切线且交⊙Ol于点C,AD是⊙Ol的切线且交⊙O2于点

7、D,则AB2=BC·BD;(2)连结AB、OlO2,若OlA=15cm,O2A=20cm,AB=24cm,则OlO2=25cm;(3)若CA是⊙Ol的直径,DA是⊙O2的一条非直径的弦,且点D、B不重合,则C、B、D三点不在同一条直线上,(4)若过点A作⊙Ol的切线交⊙O2于点D,直线DB交⊙Ol于点C,直线CA交⊙O2于点E,连结DE,则DE2=DB·DC,则正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号).4.如图,半圆O的直径AB=4,与半圆O内切的动圆Ol与AB切于点M,设⊙Ol的半径为,AM的长为,则与的函数关系是,自变量的取值范围是.5.如图,施工

8、工地的水平地面上,有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起,则其最高点到地面的

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