随机变量的求和

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1、§3.4两个随机变量的函数的分布一一、一、、两个离散型随机变量、两个离散型随机变量X与Y的函数的分布1、Z=g(X,Y)的概率密度的一般求法2、离散型随机变量和的分布律公式二二、二、、两个连续型随机变量、两个连续型随机变量X和Y的函数的分布1、两随机变量之和的分布2、两随机变量之商的分布3、随机变量极值的分布4、其它函数的分布一、两个离散型随机变量X与Y的函数分布1、设(X,Y)为二维离散型随机变量，其分布律为P{X=x,Y=y}=pi,j=,2,1⋯ijij则函数Z=g(X,Y)的概率分布求法步骤：01先确定Z=g(X,Y)的可能取值g(x,y)ij

2、02确定P{Z=g(x,y)}=P{X=x,Y=y}=p；ijijij03将Z=g(x,y)中相同的值合并，其相应概率相加，并ij将Z值按从小到大的顺序排列；04写出Z=g(X,Y)的分布律。例4.1设随机变量(X,Y)的分布律为XY012300.10.050.010.1210.040.060.070.0820.130.080.110.15试求(1)Z=X+Y的分布律；(2)W=2X-Y的分布律；解：计算相应的函数值及相应的概率列表如下：(X,Y)(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(1,0)(1,1)Z=X+Y012312W=2X-Y0-1-2-

3、321(X,Y)(1,2)(1,3)(2,0)(2,1)(2,2)(2,3)Z=X+Y342345W=2X-Y0-14321再将相同的函数值对应的概率相加，整理成所求分布律Z=X+Y012345(1)p0.10.090.20.270.190.15kW=2X-Y-3-2-101234(2)P0.120.010.130.170.210.150.080.13k2、离散型随机变量和的分布律例2.4设X,Y是两个独立同)1,0(分布的随机变量,参数为p,试证Z=X+Y服从二项分布B,2(p)。解:X,Y分别为)1,0(分布,则X可以取0,1;Y也可以取0,1且P

4、{X=}0=1−pP{X=}1=pP{Y=}0=1−pP{Y=}1=p所以Z=X+Y可以取0,1,2.由X与Y的独立性知道:P{Z=}0=P{X=,0Y=}0=P{X=}0P{Y=}02202=1(−p)(1−p)=1(−p)=p1(−p)0P{Z=}1=P{X=,Y=}1+P{X=,1Y=}0=P{X=}0P{Y=}1+P{X=}1P{Y=}0212−1=1(2−p)p=p1(−p)1P{Z=}2=P{X=}0P{Y=}2+P{X=}1P{Y=}1+P{X=}2P{Y=}02222−2=p=p1(−p)2

5、2k2−k即P{Z=k}=p1(−p)k=2,1,0k这就是说Z~B,2(p)。例3.4设X,Y是相互独立的随机变量,分别服从参数为λλλλ,λλλλ的12泊松分布,试证明Z=X+Y服从参数为λλλλ+λλλλ的泊松分布。12k证:P{Z=k}=P{X+Y=k}=∑P{X=i}P{Y=k−i}i=0ki−λ1k−i−λ2k−(λ1+λ2)λ1eλ2ek!ik−ie=∑⋅=∑λ1λ2i=0i!(k−i)!i=0i(!k−i)!k!ke−(λ1+λ2)e−(λ1+λ2)iik−ik=∑Ckλ1λ2=(λ1+λ2)k=,2,

6、1,0⋯i=0k!k!二、两个连续型随机变量X和Y的函数的分布1、两随机变量之和的分布若(X,Y)的概率密度为f(x,y,)则Z=X+Y的分布函数为F(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}Z+∞z−x=∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(x,y)dydx(先y后x的积分)−∞−∞x+y≤z固定z和y,令y=u−x,则+∞z∫∫f(x,u−x)dudxy:−∞→z−x时,有u:−∞→z−∞−∞z+∞y=∫∫f(x,u−x)dxdu−∞−∞x+y=z所以0x′+∞f(z)=F(z)=f(x,z−x)dx4(.3)ZZ∫

7、−∞同理,如果采用先x后y的积分顺序,则Z=X+Y的概率密度为+∞f(z)=f(z−y,y)dy（4.4）Z∫−∞当X与Y相互独立时，（3.4）与（4.4）式可化为+∞f(z)=f(x)f(z−x)dx)5.4(Z∫XY−∞+∞f(z)=f(z−y)f(y)dy)6.4(Z∫XY−∞+∞+∞注：f∗f=f(x)f(z−x)dx=f(z−y)f(y)dyXY∫−∞XY∫−∞XY称为卷积公式。例4.4设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从N(0,1)分布，试求Z=X+Y的概率分布。解:X与Y的概率密度分别为:22xy1−1−f(x)=e2,f(y)e

8、2,−∞