2016_2017学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式章末分层突破学案新人教A版选修4

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1、知识体系反哺教材柯西不等式与排序不等式柯西不等式的向量形式二维形式的柯西不等式三维形式的柯西不等式排序不等式柯西不等式柯西不等式与排序不等式章末分层突破IN固层•知识整台［自我校对］①一般形式的柯西不等式②柯西不等式的三角形式③反序和④顺序和⑤排序原理晶学思心得「提升层•能力强化、主题1利用柯西不等式证明简单不等式柯酋不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式,可证明一些简单不等式.例fl已知白，b,c是实数，且&+方+c=l,求证：y/13&+1+yj13方+1+寸13c+1【规范解答】因为臼，b,c是实数，且a+b

2、+c=,令也=（寸13白+1,pl3方+1,yf13c+1）,n=（1,1,1）,则m*n''=（寸13日+1+寸13〃+1+寸13c+1）2,a~•川‘=3［（13自+1）+（13方+1）+（13c+1）］=3［13Q+b+c）+3］=48.*/a*n'Wm~•

3、n2f:.付13日+1）+pl3方+l+pl3c+lFW48,・•・pl3卄1+勺13方+1+pl3c+lW4羽.［再练一题］1.设自，b,x、y都是正数，且x~~y=a+b,求证:【证明】Va,byx＞厂都大于0,且x+y=日+b.由柯西不等式，知（舟甘、后+即決（+）+（"

4、]又a+x+b+y=2（&+方）>0,2所以丘+Ifa+b丐"丁・主题2排序原理在不等式证明中的应用应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组.»例己知日，b,C为正实数，求证：日+b+cW旦护+告苧+号纟【规范解答】市于不等式关于血b,C对称,可设於b2c兀.于是龄甘2厂1-日>一1-AM刁1-Crh排序不等式，得反序和w乱序和，即及a・丄+1)・7+c・丄Wa・~+G・~+c・7.abccab以上两个同向不等式相加再除以2,即得原不等式.[再练一题]1.设日，b,

5、c^R+,求证：a+Z?5+cabc+l}ac+cab.【证明】不妨设aMbMc>0,则念毎灵运用排序不等式有：才+方‘+c"=$Xa+方XF+cXcac+ba+cl5'.又跆畑*>0,且&bPac2bc>0,所以ab+Z/q+ca=aab+bibc+cca^abc+1)ac~~dab,即a+1)+c^abc+1)ac+cab.利用柯西不等式、排序不等式求最值有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足.例设日，b,c为正实数，且日+2Z?+3

6、c=13,^,y[3a+y[2b+y[c的最大值.【规范解答】由于日，力，Q为正实数，根据柯西不等式，知@+2力+3q)(3+1+£

7、=[(込)'+(a/2Z>)2+=(y/^+y[2d+y[c)1Qz(yl^i+y[2b+y[c)'W十又臼+2方+3q=13,・••当3=9,〃=号,c=*时7^+返^+讥取得最大值为号总[再练一题]1.己知实数已，方，c,d,e满足a+l)+c2+(/+e=16.求$+〃+

8、6X5=4&,所以a+b+c+d+e的最大值是4帝.婕链接.探鯉九

9、拓展层•链接高菴1•(2015・陕西高考)已知关于x的不等式

10、+

11、

12、20,

13、c>0,函数f^=x+a+x~b+c的最小值为4.⑴求a+b+c的值;(2)求扮+討+,的最小值.【解】⑴因为f{x)=

14、x+a+

15、x—b

16、(x+a)—(x_6)+c=a+b+c,当且仅当一a^x^b时，等号成立.又a>0,b>0,所以a+b=a+b,所以f(x)的最小值为<3+/；+C.又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知臼+方+c=4,由柯西不等式，得命+討+J(4+9+l)2(#X2+#X3+cX1)=(曰+方+c)，=16,即吕+詁+/諾.丄丄/2曰3cQ1Q911o当且仅当-y=—=p即臼

17、=〒，b=下,c=7时等号成立，故才/+护+d的最小值是亍章末综合测评(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本