2007年上海高考数学试卷及答案（理科）

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2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数的定义域是．2．若直线与直线平行，则．3．函数的反函数．4．方程的解是．5．若，且，则的最大值是．6．函数的最小正周期．7．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．8．以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是．9．对于非零实数，以下四个命题都成立：①；②；③若，则；④若，则．那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是．10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知是两个9 相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件：11．已知为圆上任意一点（原点除外），直线的倾斜角为弧度，记．在右侧的坐标系中，画出以为坐标的点的轨迹的大致图形为二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分．12．已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．13．设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．14．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，则的可能值个数是（　　）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．415．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是（　　）Ａ．若成立，则当时，均有成立Ｂ．若成立，则当时，均有成立9 Ｃ．若成立，则当时，均有成立Ｄ．若成立，则当时，均有成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．(12分)如图,在体积为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=1.求直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（本题满分14分）在ΔABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边．若，，求的面积．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%.以后四年中,年生产量的增长率逐年递增2%(如03年的年生产量的增长率为36%).(1)求06年全球太阳电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦);（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数，常数．（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）若函数在上为增函数，求的取值范围．9 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”．（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．记各项的和为．当为何值时，取得最大值？并求出的最大值；（3）对于确定的正整数m>1,写出所有项数不超过2m的“对称数列”,使得依次是该数列中连续的项;当m>1500时,求其中一个“对称数列”前2008项的和S2008．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．yO..x.如图，点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点，A1,A2和B1,B2分别是“果圆”与x,y轴的交点．(1)若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；(2)当时，求的取值范围；(3)连接”果圆”上任意两点的线段称为”果圆”的弦.试研究:是否存在实数k,使斜率为k的”果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的k值;若不存在,说明理由．9 2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)答案要点一、填空题（第1题至第11题）1．2．3．4．5．6．7．8．9．②④10．，并且与相交（，并且与相交）11．二、选择题（第12题至第15题）题号12131415答案ACBD三、解答题（第16题至第21题）16．解法一：由题意，可得体积，．连接．，平面，是直线与平面所成的角．9 ，，则＝．即直线与平面所成角的大小为．解法二：由题意，可得体积，，如图，建立空间直角坐标系．得点，，．则，平面的法向量为．设直线与平面所成的角为，与的夹角为，则，，即直线与平面所成角的大小为．17．解：由题意，得为锐角，，，由正弦定理得，．18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为，，，．则2006年全球太阳电池的年生产量为(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则．解得．9 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到．19．解：（1）当时，，对任意，，为偶函数．当时，，取，得，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）解法一：设，，要使函数在上为增函数，必须恒成立．，即恒成立．又，．的取值范围是．解法二：当时，，显然在为增函数．当时，反比例函数在为增函数，在为增函数．当时，同解法一．20．解：（1）设的公差为，则，解得，数列为．（2），，9 当时，取得最大值．的最大值为626．（3）所有可能的“对称数列”是：①；②；③；④．对于①，当时，．当时，．对于②，当时，．当时，．对于③，当时，．当时，．对于④，当时，．当时，．21．解：（1），，于是，所求“果圆”方程为，．（2）由题意，得，即．，，得．9 又．．（3）设“果圆”的方程为，．记平行弦的斜率为．当时，直线与半椭圆的交点是，与半椭圆的交点是．的中点满足得．，．综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．9