统计学6.非参数假设检验

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1、第六章非参数假设检验§6.1总体分布的非参数假设检验非参数假设检验（分布检验）所处理的问题是：（1）两个总体的分布未知，它们是否相同（用两组样本来检验）；（2）（由一组样本）猜出总体的分布（假设），然后用（另一组）样本检验它是否正确。需要注意的问题是，两种分布是否相同，一般包含了参数（均值、方差等）是否相同的问题。如果两个总体的分布函数形式相同，而参数不同，也将被判别为概率分布不同。1、检验两个总体的分布是否相同：符号检验法（正负号个数检验法）检验两个总体的分布是否相同的符号法又称正负号个数检验法。它所要处理的问题是：假设两个总体的分布F（x）与G（x）相同，用两个总体

2、的容量相同的配对样本x1，x2，···,xn与y1，y2,···,yn来检验它,即检验假设H0：F(x)=G(x)是否成立.设两个总体的样本相互独立,当H0:F(x)=G(x)成立时,概率P{XiYi}相同,i=1,2,···,n.也就是说,对于样本观测值而言,xi-yi>0的个数(记为n+),应当与xi-yi<0的个数(记为n-)基本相同(从样本观测值角度,不一定刚好相等).如果两者相差很远,我们就有理由,拒绝假设H0:F(x)=G(x).如果我们把xi=yi的个数记为n0,并从样本总数n中扣除,则m=n–n0,表示了n个样本中xiyi的

3、个数。m个样本对中，把xi-yi>0的个数记为n+,xi-yi<0的个数记为n-,则有m=n++n-.设整数r满足:0rm,则可以由下式计算出“xi-yi>0的个数为n+”的概率:这是一个二项分布,记为U~B(m,p),当xi-yi>0时,Ui=1,当xi-yi<0时,Ui=0.如果F(x)=G(x)成立,则上式中p应与0.5没有本质区别.也就是说,非参数的假设F(x)=G(x)的检验问题,转化成了参数p=0.5是否成立的检验问题.于是,可以根据上一章节5.3中关于参数p的假设检验方法处理了.小样本情况下,正负号个数检验法的处理,与5.3.1小节的处理原理相同,只不

4、过5.3.1节是单尾检验,我们现在要做双尾检验(检验两个方向的备择假设).以计算“xi-yi>0的个数为r”的概率为例,对给定的,在假设p=0.5(H0假设)的前提下,按照B(m,p)的概率计算公式,对r从小到大,求累积概率:(1)小样本情况下,正负号个数检验法的处理确保k1的外侧概率小于等于/2,从而求出k1.进而,在假设p=0.5(H0假设)的前提下,按照B(m,p)的概率计算公式,对r从小到大,求累积概率:确保k2的外侧概率小于等于/2,从而求出k2.如果实际的“xi-yi>0的个数n+”在(k1,k2)中就接受H0:p=0.5(即F(x)=G(x)),否则

5、拒绝H0,认为p0.5,即F(x)G(x).(2)大样本情况下,正负号个数检验法的处理在大样本情况下(即mp10),可以近似地用正态分布来处理.现在p=0.5,所以只要m20即可.用统计量:在计算统计量Z的值z时,在式中要用u(即n+/m)代替U.于是,我们又假设检验:H0:p=0.5(即F(x)=G(x))H1:p0.5(即F(x)G(x)).对于显著性水平,只要判断

6、z

7、是否大于z/2(或者z的显著性水平是否小于),就可以得出拒绝还是接受H0:p=0.5(即F(x)=G(x))了.是按照问题本身的属性，“天然”配对的。也就是说，不能各自独立地颠倒

8、顺序。例：用两套问卷测量20个管理人员的素质，两套问卷的满分都是200分，两套问卷测得的结果如表：配对样本：卷A147150152148155146149148151150卷B146151154147152147148146152150正负号检验的一个重要的前提是：样本xi或yi不能各自独立地颠倒顺序。卷A147148147150149149152147154153卷B146146148153147146148149152150例：用两套问卷测量20个管理人员的素质，两套问卷的满分都是200分，测得结果如上表。问：两套问卷有无显著性差异（本质是两套问卷的结果的分布是否相

9、同）？解：依据关于正负号的二项分布B（m，p）来检验p是否为0.5,即H0:p=0.5(即F(x)=G(x))H1:p0.5(即F(x)G(x)).如果接受p=0.5的假设,就接受F(x)=G(x)的假设,否则就拒绝F(x)=G(x)的假设.这种解决问题的思路是:把非参数检验的问题转化为参数检验问题来处理.根据上表,算得正负号如下表:+--++-++-0++--+++-++此时,正负号的个数m=19,所要检验的参数p=0.5,mp10,我们这里按大样本类型来处理.统计出正号的个数n+=12.设定随机变量U,若xi-yi>0出现,令