付里叶变换的性质

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1、§4.6付里叶变换的性质连续时间信号有两种描述方法:时域描述f(t)频域描述F()Section2§4.73.求频率响应的方法1222021/9/42一、线性f1(t)F1(),f2(t)F2()a1f1(t)+a2f2(t)a1F1()+a2F2()利用该性质，可将所求信号表示成已知频谱信号的线性组合，用间接方式求出频谱函数。2332021/9/43例：3442021/9/44前提，f(t)是实函数；f(t)与F()奇偶虚实关系:二、奇偶性R(w)X(w)偶函数奇函数4552021/9/45三、对称性若f(t)F()，则F(t)2f(-)证明

2、：根据傅氏逆变换将上式中t换为-t，则互换变换t和w，得到即F(t)2f(-)当f(t)为偶函数时，F(t)2f()5662021/9/46例1d(t)112pd(w)6772021/9/47例2（4.5－1）例:4.5-1Sa(t)=sint/t.门函数g(t)Sa(/2)令/2=1，则=2.∴(1/2)g2(t)2(1/2)Sa()=Sa().由对称性知：Sa(t)2(1/2)g2()=g2()7882021/9/488992021/9/49例3（4.5－2）F[1/t]=?∵F[sgn(t)]=2/jw∴F

3、[2/jt]=2psgn(-w)=-2psgn(w)∴F[1/t]=-jpsgn(w)910102021/9/410例4F[t]=?∵F[d’(t)]=jw∴F[jt]=2pd’(-w)=-2pd’(w)F[t]=j2pd’(w)1011112021/9/411四、尺度变换（时域展缩）若f(t)F()则f(at)(1/a)F(/a)1112122021/9/412g(t)Sa(/2)1213132021/9/413结论：f(at)(1/a)F(/a)信号的等效脉冲宽度与占有的等效频带宽度成反比；若言压缩信号的持续时间，则不得不以占宽频带作代价

4、。在通信中，通信速度与占用频带宽度是一对矛盾。通信系统的设计便是寻找矛盾的合理解决方案。1314142021/9/414五、时移特性若f(t)F()则f(tt0)ejt0F()=F()ej[jt0]即时域中信号延时t0频域中所有频率“分量”相应落后一相位t0，而幅度不变。F[f(t-t0)]1415152021/9/415例1g(t)Sa(/2)g(t-/2)Sa(/2)e-jw/2g(t+/2)Sa(/2)ejw/21516162021/9/416f2(t)=f1(t+1)-f1(t-1)f3

5、(t)=f2(2t)=f1(2t+1)-f1(2t-1)F2()=ejF1()-e-jF1()=(ej-e-j)2sin/=4jsin2/.F3()=(1/2)F2(/2)=j4sin2(/2)/1617172021/9/417既有时移又有尺度变换若f(t)F()则f(at-b)(1/a)e-j(b/a)F(/a)b=0尺度变换；a=1时移。1718182021/9/418例2已知f(t)F()求f(3-2t)的付里叶变换。解：时移：f(t+3)ej3F()尺度变换a=-2f(-2t+3)(1/-2)ej3

6、/(-2)F[/(-2)]=(1/2)e-j(3/2)F(-/2)1819192021/9/419六、频移特性调制特性若f(t)F()0为常数证明1920202021/9/420应用频域搬移技术在通信系统中得到广泛应用，诸调频、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移的实现原理是将信号乘以载频信号cos0t或sin0t。2021212021/9/421频谱搬移×f(t)f1(t)=f(t)cosw0tcosw0t调制原理图调制信号载波信号已调信号2122222021/9/422解调(接收端)×f1(t)f3(t)=f(t)/2cosw0t

7、解调原理图本地载波(本振信号)低通滤波器与发送端的载波信号同频同相f2(t)=f1(t)cosw0t=f(t)cosw0t2223232021/9/423例1y(t)=gt(t)cosw0tgt(t)tSa(wt/2)gt(t)cosw0t(1/2){tSa[(w-w0)t/2]+tSa[(w+w0)t/2]}2324242021/9/424已调信号的频谱是将原频谱一分为二，分别向左和向右搬移0，在搬移中幅度谱的形状并未改变。F[gt(t)]t0wt/2-w00w0wF[gt(t)cosw0t]2425252021/