2014广东高考理科数学立体几何试题

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1、专题八　立体几何1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π解析：选A.原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V＝4×2×2＋π×22×4＝16＋8π.2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为(　　)A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3解析：选A.如图，作出球的一个截面，则

2、MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝π×53＝(cm3)．3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　)A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：选D.根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.4．(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，

3、则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)A.B.C.D.解析：选A.法一：如图，连接AC，交BD于点O，由正四棱柱的性质，有AC⊥BD.因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面CC1O.在平面CC1O内作CH⊥C1O，垂足为H，则BD⊥CH.又BD∩C1O＝O，所以CH⊥平面BDC1，连接DH，则DH为CD在平面BDC1上的射影，所以∠CDH为CD与平面BDC1所成的角．设AA1＝2AB＝2.在Rt△COC1中，由等面积变换易求得CH＝.在Rt△CDH中，sin∠CDH＝＝.法二：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如

4、图，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝

5、cosn，

6、＝＝.5．(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)A.B.C.D.解析：选A.法一：如图，连接AC，交BD于点O，由正四棱柱的性质

7、，有AC⊥BD.因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面CC1O.在平面CC1O内作CH⊥C1O，垂足为H，则BD⊥CH.又BD∩C1O＝O，所以CH⊥平面BDC1，连接DH，则DH为CD在平面BDC1上的射影，所以∠CDH为CD与平面BDC1所成的角．设AA1＝2AB＝2.在Rt△COC1中，由等面积变换易求得CH＝.在Rt△CDH中，sin∠CDH＝＝.法二：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(

8、1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝

9、cosn，

10、＝＝.6．(2013·高考山东卷)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是(　　)A．4，8B．4，C．4(＋1)，D．8,8解析：选B.由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，∴V＝×22×2＝.四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为，∴S侧＝4××2×＝4.7．(

11、2013·高考山东卷)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)A.B.C.D.解析：选B.如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝，则S＝×()2＝，VABCA1B1C1＝S×PO＝，∴PO＝.又AO＝×＝1，∴tan∠PAO＝＝，∴∠PAO＝.8．(2013·高考浙江卷)设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平

12、面(　　)A．若m∥α，