解三角形讲义

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1、正弦定理与余弦定理1、正弦定理：在△ABC中，（R为△ABC外接圆半径）。2、变形公式：（1）化边为角：（2）化角为边：（3）（4）3、三角形面积公式：4、余弦定理：常见类型及其解法如表所示:已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出边所对的角；再由A＋B＋C＝180°，求出另一角.在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有解时只有一解第6页两边和其中一边的

2、对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解，一解或无解例1：在中，已知下列条件解三角形：（1）（2）（3）（4）（5）在中，已知，求边长及面积。例2：（1）在中，,试判断的形状。（2）已知的周长为，且.①求边的长；②若，求的面积。第6页（3）的内角的对边分别为，=.①求；②若，求例3：(1)据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°，树干也倾斜为与地面成75°，树干底部与树

3、尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是多少？(2)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．①求渔船甲的速度；②求sin的值．第6页（3）当太阳光线与水平面的倾斜角为时，一根长为的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为多少？【拓展提升】1.在△ABC中，a=3,b=5,sinA=,则sinB=()A.B.C.D.12.的内角的对边分别为，已知，，，则的面积为（）A.B.C.D.3.已知锐角△ABC的内角A，

4、B，C的对边分别为，，，，，=6，则（）A.10B.9C.8D.54.在中，，则的形状为（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形5.的内角的对边分别是，若，，，则（）A.B.2C.D.1　6.在中，,则边上的高为（）D.7.已知分别为的三个内角的对边，,第6页，若，且,则角等于（）8.某人向正东方向走km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是km，那么的值为(　　)。A.B．2C.或2D．39.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测

5、得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（　　）海里/时海里/时海里/时海里/时10.已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若，则角C的大小是.11.在中，，则的形状为____________.12.若满足条件的有两个，那么的取值范围是_____________.13.的外接圆半径为,,的最大值为____________.14.在中，已知是边上的一点，,求的长。15.在中，内角的对边分别为，已知。（1）求的值；（2）若，求的面积。第6页16.如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东的C处，12时20分测得船在海岛北偏西的B处，12时40分轮船到达位于海

6、岛正西方且距海岛5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？17.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里?第6页