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1、2013年高考北京高考模拟试题数学(理科)2013本试卷共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合P={x
2、x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是( )A、(﹣∞,﹣1]B、[﹣1,1]C、[1,+∞)D、(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)2、复数=( )A、iB、﹣IC、D、3、已知命题使得命题,下列命题为真的是A.pqB.(C.D.4、执行如图所示的程序框图,输出的s值为( )A、
3、﹣3B、﹣C、D、25、某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是( )12A、8B、C、10D、6、正五边形中,若把顶点染上红,黄,绿三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不同,则不同的染色方法共有()A.30种B.27种C.24种D.21种7、过双曲线的右顶点A作斜率为一1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若A,B,C三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为A.B.C.D.8、已知函数的定义域为R,若存在常数,对任意,有,则称为函数.给出下列函数:①;②;③;④;⑤是定义在R上的奇函数,且满足对一切实数均有.其中是函数的序号为()A.①②④
4、B.②③④C.①④⑤D.①②⑤12二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.在极坐标系()中,直线被圆截得的弦的长是.10、已知向量=(,1),=(0,﹣1),=(k,).若与共线,则k= .11.如图,已知圆的半径为,从圆外一点引切线和割线,C为AD与圆的交点,圆心到的距离为,,则的长为______.12.如图,在棱长为2的正方体内(含正方体表面)任取一点,则的概率.13、已知函数若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则数k的取值范围是 .14.已知是正实数,如果不等式组:表示的区域内存在一个半径为1的圆,则的最小值为.三、解答题(共6小题,满分80分)1215、
5、(本小题满分14分)已知函数.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期:(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值.16.(本小题满分12分)已知数列{}中(I)设,求证数列{}是等比数列;(Ⅱ)求数列{}的通项公式.17.(本小题满分13分)12如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;(Ⅱ)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;(Ⅲ)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.18.(本小题满分14分)设函数12(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在x∈[-1,1]内没有极值点,求a的取值
6、范围;(Ⅲ)若对任意的a∈[3,6],不等式在x∈[-2,2]上恒成立,求m的取值范围.19.(本小题满分14分)设抛物线:的焦点为,经过点的动直线交抛物线与,两点,且;⑴求抛物线的方程;⑵若(为坐标原点),且点在抛物线上,求直线的斜率⑶若点是抛物线的准线上的一点,直线的斜率分别为,求证:当为定值时,也为定值。20.(本小题共13分)对于,定义一个如下数阵:12其中对任意的,,当能整除时,;当不能整除时,.(Ⅰ)当时,试写出数阵;(Ⅱ)设.若表示不超过的最大整数,求证:.参考答案1-8BAADCABC129-149.10.111.312.3/413.(0,1)14.15.解:(Ⅰ)∵
7、=4cosx()﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin(2x+)所以函数的最小正周期为π(Ⅱ)∵﹣≤x≤,∴﹣≤2x+≤∴当2x+=,即x=时,f(x)取最大值2当2x+=﹣时,即x=﹣时,f(x)取得最小值﹣116解:(Ⅰ)递推公式可化为,即.…………3分又,所以数列是首项为3,公比为的等比数列.……………5分12(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,所以……………7分……………12分17解:(I)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD,PA∩AC=A所以BD⊥平面PAC(II)设AC∩BD=O,因为∠BAD=60°,
8、PA=AB=2,所以BO=1,AO=OC=,以O为坐标原点,分别以OB,OC,为x轴,以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系O﹣xyz,则P(0,﹣,2),A(0,﹣,0),B(1,0,0),C(0,,0)所以,设PB与AC所成的角为θ,则cosθ=
9、(III)由(II)知,设,则设平面PBC的法向量=(x,y,z)则=0,12所以令,平面PBC的法向量所以,同理平面PDC的法向量,因为平面PBC⊥平面PDC,所以=0,即﹣6+=0,解
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