2013年北京卷高考理科数学试题

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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，，，则A.B.，C.，D.，，2.在复平面内，复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“”是“曲线过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行下面的程序框图，输出的值为A.1B.C.D.5.函数的图象向右平移一个单位长度，所得图象与关于轴对称，则A.B.C.D.6.若双曲线的离心率为，

2、则其渐近线方程为A.B.C.D.7.直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与所围成的图形的面积等于A.B.2C.D.8.设关于，的不等式组表示的平面区域内存在点，满足，求得的取值范围是A.，B.，C.，D.，二、填空题：共6题，每小题5分，共30分.9.在极坐标系中，点，到直线的距离等于____________.10.若等比数列满足，，则公比______；前项和_______.11.如图，为圆的直径，为圆的切线，与圆相交于，，，则__________，___________.12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少

3、一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是__________.13.向量、、在正方形网格中的位置如图所示，若，，则_____.14.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为____________.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15.(本小题共13分)在中，，，.⑴求的值；⑵求的值.16.(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月

4、1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.⑴求此人到达当日空气重度污染的概率；⑵设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；⑶由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17.(本小题共14分)如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形.平面平面，，.⑴求证：平面；⑵求二面角的余弦值；⑶证明：在线段存在点，使得，并求的值.18.(本小题共13分)设为曲线：在点(1，0)处的切线.⑴求的方程；⑵证明：除切点(1，0)之外，曲线在直线的下方.19.(本小题共14分)已知、、是椭圆：上的三个点，是坐标原

5、点.⑴当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积.⑵当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由.20.(本小题共13分)已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项，…的最小值记为，.⑴若为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意，)，写出，，，的值；⑵设为非负整数，证明：，，，…)的充分必要条件为为公差为的等差数列；⑶证明：若，，，，…)，则的项只能是1或2，且有无穷多项为1.要使可行域存在，必有m<－2m+1，要求可行域内包含直线上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直

6、线上方，且(-m，m)在直线下方，解不等式组得m＜