高斯函数范本

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1、高斯函数一、定义对于任意，是不超过x的最大整数，称为x的整数部分。y=称为定义在实数集上的函数，即取整函数，又称为高斯函数。由定义知，，故，称为x的小数部分，记作。y=称为x的小数部分函数。如，，；，，，。二、性质1、的定义域为R，值域为Z；的定义域为R，值域为。2、3、y=[x]是不减函数，即若，则4、[x+n]=n+[x],{x+n}={x},其中x∈R,n∈N.证明：因为n+x=n+[x]+{x}及0≤{x}<1,所以n+[x]≤n+x

2、.5、[x+y]≥[x]+[y],其中x,y∈R，且{x}+{y}≥{x+y}证明：x+y=[x]+[y]+{x}+{y},0≤{x}<1,0≤{y}<1x+y=[x+y]+{x+y}即[x]+[y]+{x}+{y}=[x+y]+{x+y}因为{x}+{y}≥{x+y}20所以[x+y]≥[x]+[y]说明：{x}+{y}≥{x+y}是显然成立的。0≤{x}+{y}＜2若{x}，{y}都小于1/2一般地，，，特别地，，6、，其中，一般地有特别地，7、，其中，证明：（1）因为所以，由性质5，所以因此。（2）将代替得；（3）以代

3、替得三、定理20定理1、，，则1至（包括）之间的整数中，有个数是的倍数。证明：，即此式说明：不大于而是的倍数的正整数只有这个：，，2，3，……，。例如100到1000的整数中是11的倍数的数的个数为如1到99有个数是9的倍数。定理2在！中，质数的最高方次数是证明：由于是质数，因此含的方次数一定是1，2，…，，各数中所含的方次数的和。由定理1知，1，2，…，中有个的倍数，有个的倍数，…，所以定理成立。此定理说明（1），其中不含的因数。如=285+40+5=330则20（2）用递推公式来计算级数的各项较为方便。推论1推论2贾宪数

4、()是整数（0

5、2的质数。(n)解：(n+1)(n+2)…(2n)=则分解式中质因数2的指数为==，即2的质数为。例6、从992到1992的整数中，有多少个数是7的倍数？解：易知从1到991共有个数是7的倍数，从1到1992中共有个数是7的倍数。所以从992到1992的整数中共有284-141=143个数是7的倍数。20又991！的质因数的分解式中，7的指数为在1992！的质因数的分解式中，7的指数为329-163=166，所以，即k的最大正整数为166。例7、求出的个位数字。解：先找出的整数部分与分数部分。由牛顿二项式定理知︱所以是整数。

6、显然所以其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3。例8、求使为整数的最大自然数。解：20所以所以，的最大自然数为148。例9、对任意实数、，求证证明：应用，及有===下面讨论（1）若，都小于，则所以（2）若，至少有一个不小于，则，中至少有一个等于1，因为所以，有，从而，即总之，原不等式对任意、成立。例10、、是任意非负整数，证明是整数。证明：设为任意质数，分子中含质数的最高方次数为20，而分母中质数的最高方次数是，由例9的结论可知：对一切自然数，有所以对于任意质数，分子中含的最高方次数不小于分母中含的最

7、高方次数，因而是整数。2、求整数部分例1、计算和式的值。（1996年东北三省数学竞赛试题）解：显然有，若，则，，是实数。503是一个质数，因此，对，都不会是整数，但可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是故例2、计算的值。解：一般地=。20例3、对任意的，计算和（第十届IMO试题）。解：因为对一切，成立因此（定理三）则又因为固定数，当适当大时，，从而，故。例4、证明方程无实数解。证明：（反证）若方程有实数解设所以，，……，，所以因为，所以，，……，所以，，……，，即即因N为整数，矛盾。所以原方程无解。20例5、求的值。解

8、：显然<3，下面证明>2即可。若≤2，则≤4，≥2≥4，，，矛盾。所以>2，则=2。例6、求的值。解：由（1）由知…….不等式两边分别相加得（2）由知则…………上述不等式两边相加得20综（1）（2）知:所以=18。例7、已知，求。解：当时即所以……………..不等式两边分别相加得即20即所以