高斯函数

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1、精英班数学讲义高斯函数一、知识概要1、定义：设，用表示不超过的最大整数。则称为高斯函数，也叫取整函数。显然，的定义域是，值域是。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即，因此，，这里，为的整数部分，而为的小数部分。2、性质1、函数是一个分段表达的不减的无界函数，即当时，有；2、，其中；3、；4、若，则其中；5、对于一切实数有；（不是整数时）（是整数时）6、若，则；7、8、若，则；当时，；9、若整数适合（是整数，），则；10、是正实数，是正整数，则在不超过的正整数中，的倍数共有个；下面再来讨论高斯函数的图像及的图像和性质.对于函数,如何做出它的图像呢?我们先

2、来分析一下高斯函数的图像的基本性质和特征.(1)由的性质知的图形在的图形的下方.(2)由的性质知的图像是一组阶高为1的平行于轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形.可见函数是一个不减(非单调)的非周期的函数,其图像如下()定理2设，则是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如().例1、方程实数根的个数例2、函数定义在上，对任意,有，则函数在上是否为增函数，请说明理由。例3、作出函数为的图像.例4、定义函数若，求实数的取值范围。例5、已知是首项为，公比为的等比数列，，，（其中表示不超过3精英班数学讲义的最大整数，如），如果数列有极限，求公比的取值范围。例6、已知是首

3、项为的非常数等差数列，，，其中表示不超过的最大整数，如），求例7、定义函数,其中表示不超过的最大整数,如:,当时,设函数的值域为,记集合中的元素个数为；（1）求通项；（2）求的前项的和；（3）求的最小值。例8、解方程例9、解方程例10、解方程3精英班数学讲义高斯函数练习1、如果为任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，则满足等式的的范围是____________2、如果为任意实数，用表示不大于的最大整数，例如，设满足方程，则________解：令，则，带入原方程整理得：，由高斯函数的定义有，解得：，则。若，则；若，则。注：本例中方程为型的，通常运用高斯函

4、数的定义和性质并结合换元法求解。2．若[x]=5，[y]=-3，[z]=-1,mj[x–y–z]可以取值的个数是（）A．3B．4C．5D．63．设[x]表示不超过x的最大整数，若M=，其中x≥1，则一定有（）A．M>NB．M=NC．M

5、,7,10,13时，y=0，则表达式中u等于（）A．B．C．D．6．实数a,b满足关系式b=[a]+[a-2]–1和b=[a]+1的值一定是（）A．大于9而小于10B．大于或等于9而小于10C．大于9而小于或等于10D．整数7．设x表示不超过x的最大整数，对任意实数x，下面式子正确的是（）A．[x]=

6、x

7、B．[x]≥C．[x]>-xD．[x]>x–18．记号[x]表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且A．I>0B．I<0C．I=0D．当n取不同的值时，以上三种情况都可能出现。3