高斯函数_常见题型

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1、高斯函数_常见题型一、常见题型与相关例题1、整数问题例1、在项数为1987的数列中有多少个不同的整数？2、方程问题方程问题主要有解方程与讨论方程的根两种题型。例2、解方程。例3、证明方程无实数解。3、恒等问题这类问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式。例如例4、（Hermite恒等式）若n是正整数，，则.例5、已知求证：4、不等问题不等问题主要涉及含[x]的不等式分析。此类问题一般难度较大。例6、设，试证：（1）、（2）、.注：与上面不等式相类似地还有（3）、（4）、例7、设试证：例8、证明不等式对任意不小

2、于1的实数立。例9、求所有正整数n使得1、求值问题例10、若实数满足求的值。例11、计算和式的值。2、格点问题平面区域内的格点计数问题，往往与有关，而且通过格点计数，还可以证明一些恒等式。例12、设求证：证明：构造平面区域D=并考虑D中整点的个数：（1）如果一列一列的数，=2时有个，时有个，…，时有个，故共有个。（2）如果一行一行的数，时有个，时有个，…，时有个，故共有个。综合（1）、（2），问题获证。一般地，设函数在上连续且非负，则（为内的整数）表示平面区域的格点数。特别地，有（ⅰ）位于三角形：内的格点个

3、数等于（为整数）。（ⅱ）设为正奇数，矩形域内的格点数等于。（ⅲ）圆域内的格点个数等于。（ⅳ）区域：内的格点个数等于。对于以上结论，可通过画示意图来证明。例如，位于由直线和围成的三角形内的格点个数等于高斯函数在数列和数论中也有极为广泛的应用，在数列和数论部分可以再得到补充。二、练习1、计算和式的值。2、求函数的值域。3、解方程。4、试证对任意实数，有。5、求方程的整数解。6、设证明：对一切都有。7、求所有的实数，使得对一切正整数都成立。8、设求证：使下列不等式成立：。9、若对任何整数都满足。证明：中至少有一个

4、是整数。10、证明：对任意正整数都有。11、证明使得对与的奇偶性相同，并给出一个如此的正实数。12、在数列中，是正整数，且。试求出所有的使得当时有。