《球的体积和表面积》习题

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1、《球的体积和表面积》习题一、基础达标1．正方体的内切球和外接球的半径之比为().A.B.C.D.2．设正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是().A.B.C.D.3．已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如下图所示，则().A.以上四个图形都是正确的B.只有(2)(4)是正确的C.只有(4)是错误的D.只有(1)(2)是正确的4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是().A.B.C.D.都不对5．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍

2、，圆锥的高与底面半径之比为().A.B.C.D.6．若三个球的表面积之比是，则它们的体积之比是___________.7．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则这个球的表面积为___________，体积为_____________.二、能力提高8．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积.9．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积.三、探究创新10．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于

3、这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵.利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体.试用祖暅原理推导球的体积公式.参考答案1～5DDCBC；6.；7..8.解：设截面圆心为，连结，设球半径为，则，在中，，∴，∴，∴.9.解：作轴截面如图所示，，，设球半径为，则，∴，∴，.10.解：我们先推导半球的体积.为了计算半径为R的半球的体积，我们先观察、、这三个量(等底等高)之间的不等关系，可以发现<<，即，根据这一不等关系，我们可以猜测，

4、并且由猜测可发现.下面进一步验证了猜想的可靠性.关键是要构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如右图所示.下面利用祖暅原理证明猜想.证明：用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面.如果截平面与平面α的距离为，那么圆面半径，圆环面的大圆半径为R，小圆半径为r.因此，，∴.根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即，所以.