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《问题3.5利用正、余弦定理解决实际问题-2017届高三数学跨越一本线含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2017届高三数学跨越一本线精品问题五：利用正、余弦定理解决实际问题三角函数本身起源于人们对大自然中物体的测量，直到科技发达的今天,仍然有不少领域、不少技术涉及到三角函数,可以说，三角函数的出现，是人类的文明进步的一个重大体现，也是人类进步不可或缺的重要工具.正因为如此，我们在学习三角函数中，一定要重视它的实用性,利用三角函数，特别是利用正余弦定理解决实际问题，就成为当今考查的一个热门,应该引起大家的高度重视.利用解三角形解决实际问题时，（1）要理解题意,整合题冃条件，画出示意图，建立一个三角形模型；（2）耍理解仰角、俯角、方位角、方向角
2、等概念；（3）三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围,最后还要检验问题的实际意义.一、正弦定理的应用正弦定理是解三角形的一个重要工具，在三角形的三边和三角这六个条件中，如果涉及两边及一边对角，或者两角与一边问题时，通常利用正弦定理作为入手点，可以很快求出第四个量，为后血解三角形铺平道路.【例1JI2017山东烟台栖霞市上期中】一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海伦在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是
3、（）A.10^2海里B.10^3海里C.20^3海里D.20^2海里【分析】在JABC中，利用正弦定理求距离.【解析】如图，由已知可得，ZB4C=30。，=105°,AB=20,从而ZACB=45°.在UABC中，由正弦定理可得BC=ABX5m30°=10>/2.故选A.助45。【点评】求距离、高度问题应注意（1）理解俯角、仰角的概念,它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念；（2）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知竝放在另一确定三角形中求解.（3）确定用正弦定理还是余弦
4、定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.【小试牛刀】【2016届广东省惠州市高三上学期笫二次调研】如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸b,C的俯角分别为75°,30°,此吋气球的高是60加则河流的宽度BC等于（）(A)120(^3-l)m(B)180(72-l)m(C)240(73-1)/7?(D)30(73+1>【答案】A【解析】AC=120,AB=60sin753ABBCsin30°sin45°所以=也竺二60x血=120(巧一1).选asin30°sin(30°+45°)【例2】【2017陕西西藏民族学院附屮12月月考】航空测量
5、组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米,速度为180千米/小时，飞机先看到山顶的俯角为15。,经过420秒后又看到山顶的俯角为45。，求山顶的海拔高度（取72=1.4,73=1.7）.—45°【分析】设山顶为点C,飞机所在的航线为AD,如图所示，则根据题屮的条件可得ZCAD=15°,ZCBD=45°,于是可以得到ZACB=30°,4,3之间的距离为42010000X=21000m,于是问题转化为求CQ的长度，首先在ABC中，根据正弦定理60x60求出BC的长度，然后在'BCD中，根据ZCDA=90°,可以得到C
6、D=BC・sin45°,便可以求出CD的长度，然后再根据10000-CD就得到了山顶的海拔高度.【解析】如團仁•厶=15。、ZD3C=45.Z^C5=30°.込比0000x420x^=210005)BCABsinAsinZACB...3C=21000鈕is。=105叫&一咼:CDLAD^:.CD=BCsinZCBD=BCxsin45°=105叫而一冏x也=10500(^/3-1)=10500(1.7-1)=7350.山顶的海拔高度=10000-7350=2650（米）=2.65（千米）.【点评】解三角形应用举例问题在解题中一般分以下几
7、步进行：①分析题意画出示意图或利用题中所给示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型；②利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解；③应用题要注意作答.【小试牛刀][2016学年湖南师大附中高二上第一次段测】如图所示，某镇有一块空地AOAB,其中0A二3km,OB=3羽km,ZAOB=90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖AOMN,其中M,N都在边A,B上，且AMON=30°,挖出的泥土堆放在AOAM地带上形成假山，剩下的AOBN地带开设儿童游乐场.为了安全起见，需
8、在△OAN的一周安装防护网.3(I)当AM二一如2时,求防护网的总长度；2(II)若要求挖人工湖用地AOMW的面积是堆假山用地AOAM的面积的V3倍,试确定ZAOM的大小.【答案】(I)9km
