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《高考数学母题题源系列专题17立体几何的基本问题文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、母题十七立体几何的基本问题母题呈现【母题原题11[2018天津，文17】如图，在四面体ABCD+,AABC是等边三角形，平面ABC丄平面4BQ,点M为棱A3的屮点,AB=2,AD=2y[3,ZBADH（I）求证：AD丄BC；（II）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（III）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.【考点分析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力•满分13分.【答案】（I）证明见解析；〔II）亜；（HI）色.264【解析】试题
2、分析：（I）由面面垂直的性质定理可得血＞丄平面ABC,则Q丄EC.（II）取棱的中点N,连接叭枷.由几何关系可知（或其补角〉为异面直线0C与MD所成的角.计算可得ZDMN=却巴=匹・则异面直线月匚与所成角的余弦值为至；~DM~2626（III）连接CAf・由题意可知CAf丄平面ABD,则ZCDM为直线CD与平面.4BD所成的角.计算可得sinZCDM=QL=毎.即直线CD与平面ABD所成角的正眩值为空.CD44试题解析：（I）证明：由平面ABC丄平面ABD,平面ABC平^ABD=AB9AD丄AB,可得AD丄平面ABC,故4D
3、丄BC.（II）取棱4C的中点W,连接又因为M为棱A3的中点，故MN//BC.:.ZDMN（或其补角)为异而直线BC与MD所成的角.在RtADAM4*,AM=1,故£>M=丁谆•AD丄平fffiABC,故AD丄AC.在Rt/DAN中，AN=,^IDN=^AD2^AN2=-713-在等腰三角形DM”中，MN=,可得8丄功饷=£竺=逅.DM26--异面直线与MD所成角的余弦值为世・26(III〉连接葩・Q3C対等边三角形，M为边创的中点，故3丄AB3CM=y/3・又因为论如=需=孚平面4BC丄平面ABD,而CA£u平面ABC
4、,故CM丄平面ZCDM为直线C©与平面4BD所成的角.在RtACAD中，仞=丁力+少=4.在RtACMD中,A直线CD与平面ABD所成角的正弦值为迴.4【名师点睛】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.【母题原题2][2017天津，文17】如图，在四棱锥P-ABCD中，AD丄平面PDC,AD//BC,PD丄PB,AD=lfBC=3,CD=4,PD=2.(I)求异面直线AP与所成角的余弦值；(II)求证：PD丄平面PBC；(TT)求直线AB与平
5、面PBC所成角的正弦值.【答案】⑴J)丰【解析】试题分析：本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识•考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.试题解析：(I)如團，由已知也"昭故ZD肿或其补角即为异面直线妒与庄所成的角•因为曲丄平面PDC,所以肋丄电在Rt△丹M中，由已知，得AP=jAD：+PD；=运,故cosZaiP=—=迈.AP5所以,异面直线肿与M所成角的余弦值为总・(II)证明：因为M丄平面PDC,直线刊u平面PDC,所以皿丄丹・又因为BC//AD,所以PDi.BC,又刃丄P
6、B,所以刃丄平面啟.(III)过点〃作肋的平行线交恭于点尸，连结％则莎与平面砸所成的角等于肋与平面磁所成的角.因为勿丄平面PBC,故丹'为〃尸在平而/忧上的射影，所以为直线〃尸和平而/%乞所成的角.由于AD//BC,DF//AB,故BF^AD=，由已知，得CPBC-B&2.又AD_DC,故BCVDC,在Rt△化F中，可得sinZDFP=巴=並.所DF5以直线畀〃与平面P%所成角的正弦值为当.【母题原题31[2016天津，文17】如图，在四棱锥P-ABCD中，AD丄平面PDC,AD//BC,PD丄PB,AD=,BC=3,C
7、D=4,PD=2.(T)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(II)求证：PD丄平面PBC；(II)求直线与平面PBC所成角的正弦值.【答案】⑴纠⑵乎【解析】试题分析：本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识•考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.试题解析：(I)如團，由已知也"昭故ZD肿或其补角即为异面直线妒与庄所成的角•因为曲丄平面AP5PDC,所以肋丄电在Rt△丹M中，由已知，得=+=运,故cosZaiP=—=迈.所以,异面直线肿与恥所成角的余弦值为空・(II)证明:因为M
8、丄平面PDC,直线刊u平面PDC,所以AD1.H).又因为BC//AD,所以PDY.BC,又刊丄PB,所以刃丄平面啟.DF5(III)过点〃作肋的平行线交％于点F,连结PF,则矿与平面啟?所成的角等于初与平面磁所成的角.因为/矽丄平面PBC,故为处在平面PBC上的射影，所以Z
