高考数学母题题源系列专题07基本初等函数及其应用理

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1、母题七基本初等函数及其应用母题呈现【母题原题1][2018±海卷，7】己知ae{-2,-1,-1,-,1,2,3},若幕函数/(x)=为奇函数,且在(0,+8)上递减，则(7=・【答案】一1【解析】幕函数为奇函数，幕指数Q只能为—1,1,3,又函数在(0,+oo)上递减，a<0,所以4=一1・【母题原题2][2017±海卷,9]已知四个函数：①仪=一小—A；③y=x3；屮任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为【解析】由四个函数①y=-xy②③y=Jt3^④y=£从中任选21函数，共有必=6种，其中“所选斤函数的图像有且仅有一个公共点"共有①③、①④，共

2、有爭中,所以“所选斤函数的图像有且仅有一个公共点"的般率为P=1=1-【母题原题3][2016上海卷，18]已知点(3,9)在函数/(x)=1+a'的图像上，则/O)的反函数L(x)=•【答案】log2(x-l)【解析】试题分析：将点(3,9)代入函数/(x)=l+av中得a=2,所以/(兀)=1+2",用y表示兀得x=log2(^-l),所以/_1(x)=log2(x-l).【考点】反函数的概念以及指、对数式的转化【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：一解(反解X)、二换(x与y互换)、三注(注意定义域)•本题佼为容易.母题揭秘【命题意图】主要考查基

3、本初等函数的运算与性质，以及反函数的概念，作差或作漓法的应用，不等式的相关性质以及有关函数性质的应用.【命题规律】上海高考近几年对这部分的考查主要集中在基本初等函数与反函数的综合，基本初等函数的一系列运算性质，对该部分内容考查一般以选择填空题形式出现，难度中等。【答题模板】解答本类题目，以求解有关反比例函数为例，一般考虑如下三步：第一步：利用解析式反求出X；第二步：互换式子屮的X与y；笫三步：写出最终解析式，注意定义域。【方法总结】1.指数函数图象的应用技巧：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数日与1的

4、大小关系不确定时应注意分类讨论.2.冇关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幕大小问题.常利用指数函数的单调性及屮I'可值(0或1).(2)简单的指数不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数白的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决.3.对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幕的形式进行化简；(2)将同底对数的

5、和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.4.对数函数性质及应用屮应注意的问题(1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较.(2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解.(3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些

6、基木初等函数复合而成的.1.【上海市浦东新区2018届高三数学一模】某食品的保鲜吋间y（单位：小时）与储存温度兀（单位：°C）满足函数关系（^=2.718-••为自然对数的底数，k、〃为常数），若该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（）小时A.22B.23C.24D.33【答案】C【解析】由题意可得:192=/宀192>解得：｛11Jfc1e=—2.•宀=（十十叫24・•・该食品在菊匕的保鲜时间是24小时故选：C/（X）=f宀°2.【上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）】已知函数旷-1xv°

7、,则厂

8、】［广（一9）］=【答案】-2【解析】广（-9）"

9、,则W止小）=_2。jz23•【上海市松江、闵行区2018届髙三下学期质量监控（二模）】若函数『⑺）=叽（X-处+1）

10、

11、@>°且qh1）没有最小值，则回的収值范围是［答案］

12、（0,1）U［2,【解析】分类讨论：lim（x^—ax+1）=+oo当

13、0

14、时,k-+8,函数没有最小值，当也>』时，应满足比_处+1S0

15、有解,故4=Q-4n°=>Qn2］,综上可得，回的取值范圉是［3,1）U［2,+8）4.【上海市松江、闵行区2018届高