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时间：2019-09-06
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1、§6正定二次型定理1设有实二次型,它的秩为r，有两个实可逆变换及使及------------惯性定理.则中正数的个数与中正数的个数相等.1定义1设有实二次型f,如果对任何，都有f>0则称f为正定二次型并称对称矩阵A是正定的(f(x)<0)，(负定二次型),(A是负定的).补充设U为可逆矩阵，证明为正定二次型.证由于U为可逆矩阵，对于有否则，若则必有矛盾.所以当所以为正定二次型。因为所以A对称.2定理2实二次型正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正.推论对称矩阵A为正定的充分必要条件是:A的特征值全为正.由第五节的定理知，正交变换能保证f的标准
2、型的n个系数为f的矩阵的特征值，所以有前k行前k列形成的k阶子式。即为定义2顺序主子式：n阶方阵的k阶顺序主子式是取方阵3定理5对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正，即对称矩阵A为负定的充分必要条件是：A的奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正。4解所以f为负定的.例4-37判别二次型的正定性.5已知方程的图形为柱面，补充：求并说出此柱面的名称。解令对应的二次型矩阵为要想图形为柱面，所以一个特征值应该为0，代入得6再将代入得出其余的两个特征值所以可以将f化为标准型即为柱面。7作业：13.证明:二次型在时的最大值为方阵A的最大
3、特征值.证因为存在正交变换,使(其中为A的特征值.)所以设,则故结论成立.816.设对称矩阵A为正定矩阵，证明存在可逆矩阵U,使.证由于对称矩阵A为正定矩阵，则存在正交矩阵P，使得其中全正，即令则9
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