山东建筑大学线性代数作业答案

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1、线性代数第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）（2）2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）2413；（2）13…24…；（3）13……2.解（1）逆序数为3.（2）逆序数为.（3）逆序数为.3.写出四阶行列式中含有因子的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数．由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为或和为所求.4.计算下列各行列式：解60线性代数(1)=0(2)===(3)=60线性代数==5、证明：(1)(2)60线性代数(3)==60线性代数===(4)用数学归纳

2、法证明假设对于阶行列式命题成立，即所以，对于阶行列式命题成立.6、计算下列各行列式（为阶行列式）：60线性代数(1),其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;解=an-an-2=an-2(a2-1).(2);解将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得,再将各列都加到第一列上,得60线性代数=[x+(n-1)a](x-a)n-1.(3)60线性代数(4)60线性代数由此得递推公式：即而得(5)60线性代数=7.用克莱姆法则解下列方程组：解　60线性代数9.有非零解？解，齐次线性方程组有非零解，则60线性代数即,得不难验证，当该齐次线性方程组

3、确有非零解.第二章矩阵及其运算1﹑已知两个线性变换求从变量到变量的线性变换。解　由已知所以有2﹑设求及.解60线性代数.3﹑计算；⑴解：.⑵解：。4．设,求.解;利用数学归纳法证明:当时,显然成立,假设时成立,则时由数学归纳法原理知:.5﹑设求.解首先观察60线性代数,由此推测(***)用数学归纳法证明:当时,显然成立.假设时成立，则时，由数学归纳法原理知:(***)成立.6﹑设都是阶对称阵,证明是对称阵的充要条件是.证明：　　由已知：充分性：即是对称矩阵.必要性：.7．设,，问：(1)吗?(2)吗?(3)吗?60线性代数解(1),.则(2

4、)但故(3)而故8．举反例说明下列命题是错误的:（１）若,则;（２）若,则或;（３）若,且,则.解(1)　取,,但(2)　取,,但且(3)　取,,.且但.9﹑已知线性变换求从变量到变量的线性变换。解：60线性代数所以即.10﹑求下列方阵的逆阵：⑴解：,...⑵解：故存在从而.（3）解：由对角矩阵的性质知.11﹑解矩阵方程：60线性代数⑴解：⑵解：.12、利用逆阵解线性方程组：.解：解、　　(1)　方程组可表示为故60线性代数从而有.13、设（为正整数）,证明：.证明：　　一方面，另一方面，由有故　两端同时右乘就有.14、设,,求.解　　由可

5、得故.15、设,其中,求.解　　故所以60线性代数而故.16.设矩阵可逆，证明其伴随阵也可逆，且。证因=，由的可逆性及，可知可逆，且＝；另一方面，由伴随阵的性质，有=.用左乘此式两边得===,比较上面两个式子，即知结论成立。17、设阶方阵的伴随阵为,证明:⑴若,则；⑵.证明(1)　用反证法证明．假设则有.60线性代数由此得.这与矛盾，故当时,有.(2)　由于取行列式得到:若则若由(1)知此时命题也成立故有.18.设，，求。解由于所给矩阵方程中含有及其伴随矩阵，因此仍从公式=着手。为此，用左乘所给方程两边，得，又，=2AB-8E=8E=4E.

6、注意到==,是可逆矩阵，且=,于是＝4=.19、设,求及及.解　，令,.则.60线性代数故....第三章矩阵的初等变换与线性方程组1.把下列矩阵化为行最简形：解(下一步:r2-3r1,r3-2r1,r4-3r1.)~(下一步:r2¸(-4),r3¸(-3),r4¸(-5).)~(下一步:r1-3r2,r3-r2,r4-r2.)~.2.利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆：⑴60线性代数解~~~~,故逆矩阵为.(2)解~~~~~60线性代数故逆矩阵为.3.设,,求X使AX=B.解因为,所以.4.求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量.解用已知向

7、量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:,此矩阵的秩为4,其第2行和第3行是已知向量.5.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.⑴解(下一步:r1«r2.)~(下一步:r2-3r1,r3-r1.)60线性代数~(下一步:r3-r2.)~,矩阵的,是一个最高阶非零子式.⑵解(下一步:r1-r2,r2-2r1,r3-7r1.)~(下一步:r3-3r2.)~,矩阵的秩是3,是一个最高阶非零子式.6.解下列齐次线性方程组：⑴解对系数矩阵A进行初等行变换,有A=~,于是,故方程组的解为(k1,k2为任意常数).⑵60线性代数解对系数矩阵A进行初

8、等行变换,有A=~,于是,故方程组的解为(k1,k2为任意常数).7.写出一个以为通解的齐次线性方程组.解根据已知,可得,与此等价地可以写成,或,或,这就是一个满足题目要求的齐次