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《高中必修1-5错误解题分析系列-《91计数原理》》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§9.1计数原理一、知识导学1•分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中，有7®种不同的方法，在第2类办法中，有加2种不同的方法，……在第门类办法中，有加”种不同的方法，那么完成这件事共有N=mA+m2++mn种不同的方法.2.分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步，有加
2、种不同的方法，做第2步，有加2种不同的方法，……做第n步，有加”种不同的方法，那么完成这件事共有N=Xm2X…Xmn种不同的方法.注：分类计数原理乂称加法原理分步计数原理乂称乘法原理二、疑难知识导析1.分
3、类原理中分类的理解：“完成一件事，有n类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类•分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基木原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属丁•不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复.2.分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成n个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这n个步骤•分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准
4、，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算最终完成.3.两个原理的区別在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果完成一件事有n类办法,这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单-独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理.4.在具体解题吋，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分
5、类，乂有分步，仅用一种原理不能解决，这时需耍认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线.5.在有些问题屮，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多.三、经典例题导讲［例1］体冇场南侧有4个人门，北侧有3个人门，某学生到该体育场练跑步，则他进岀门的方案有（）A.12种B.7种C.24种D.49种错解：学生进出体育场大门需分两类，一-类从北边的4
6、个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案.・••选B错因：没有审淸题意.本题不仅耍考虑从哪个门进，述需考虑从哪个门出，应该用分步计数原理去解题.正解：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7X7=49种.・•・应选D.［例2］从1,2,3,…，10屮选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有多少个？错解：根据构成的等差数列的公差，分为公差为1、2、3、4四类.公差为1时，有8个；公差为2时，首先将数字分成1,3,5,7,9,和
7、2,4,6,8,10两组，再得到满足要求的数列共3+3=6个；公差为3时，有1,4,7和4,7,10和3,6,9以及2,5,8,共4个；公差为彳时，只有1,5,9和2,6,10两个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列8+6+4+2=20个.错因：上述解答忽略了1,2,3与3,2,1它们是不同的数列，因而导致考虑问题不全面，从而出现漏解.这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.正解：根据构成的等差数列的公差，分为公差为±1、±2、±3、±4四类.公差为±1吋，有8X2=16个；公差为±2时
8、，满足要求的数列共6X2=12个；公差为±3时，有4X2=8个；公差为±4时，只有2X2=4个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列16+12+8+4=40个.［例3］三张卡片的止反面分别写有1和2,3和4,5和6,若将三张卡片并列，可得到几个不同的三位数（6不能作9用）.解：解法一第一步，选数字.每张卡片有两个数字供选择，故选出3个数字，共有23=8种选法.第二步，排数字•要排好一个三位数，又要分三步，首先排百位，有3种选择，山于排出的三位数各位上的数字不可能相同，因而排十位时有2种选择，排
9、个位只有一种选择.故能排出3X2X1=6个不同的三位数.由分步计数原理，共可得到8X6=48个不同的三位数.解法二：第一步，排白位有6种选择，第二步，排十位有4种选择，第三步，排个位有2种选择.根据分步计数原理，共可得到6X4X2=48个不同的三位数.注：如果6能当作9川，解法1仍可行.［例4］集合A={1,2,3,4},集合B={-1,—2},可建立多少个以A为定义域B为值域的不同函数？分析：函数是特殊的映射，可建立映射模型解决.解：从集合A到集合B的映射共有24=
