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1、灰色系统预测建模原理、方法与应用探讨福建省城镇居民消费支出预测作者：邱双江学号：ICS110701.论文摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导GM(1,1)模型，通过给出的实例福
2、建省城镇居民消费支出，建立了GM(1,1)预测模型，并预测了2014年及以后几年的消费支出。2.关键词：灰色系统灰色预测GM(1,1)模型MATLAB3.前言：灰色系统模型是灰色系统理论的重要组成部分，邓聚龙教授基于预测控制的思想建立了灰色控制模型，完成了灰色理论系统的开篇之作。经过20多年的发展，灰色预测理论已经在工业、农业、社会、经济、能源、交通等众多的领域得到应用，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，灰色预测模型也由最初的数列预测扩展到区间预测、灾变预测、季节灾变预测、波形预测
3、和系统预测等多种类型。在研究系统发展态势时，应首先简历反映系统演化趋势的数学模型，进而对系统的整体功能、协调功能以及系统各因素之间的关联关系、因果关系、动态关系进行量化研究。木文旨在分析经典GM(1,1)模型。1.简单的灰色预测——GM(1,1)预测4.1：理论分析目前使用座广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM（1,1）模型。GM（1,1）模型是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。经证明，经一阶线性微分方程的解
4、逼近所揭示的原始时间数列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM（1,1）的预测将是非常成功的。4.1.1GM（1,1）预测模型的基本原理设兀（°）=（兀（°）（1）,八⑵，…，兀（°）何）为原始数列，某1次累加生成数列为％⑴=（兀⑴⑴山⑴⑵,…,兀⑴何），其中兀⑴伙）=gd°）（i）,k=l,2,…’定义兀⑴的灰导数为Z=1d伙）=兀（。）伙）=兀⑴伙）一兀⑴伙一1）令Z⑴=（兀⑴（2）,兀⑴⑶,…，兀⑴何）为数列兀⑴的邻值生成数列，即z⑴伙）=处⑴伙）+（1-a）
5、兀⑴伙-1）于是定义GM（1,1）的灰微分方程模型为d伙）+qz⑴仗）=b即兀®伙）+az⑴伙）=/?（1）在式（1）中，兀⑹伙）称为灰导数，d称为发展系数，z⑴伙）称为白化背景值，b称为灰作用量。将时刻k=2,3,…,n代入⑴式有*（°）（2）+az⑴（2）=bI°）（3）+az⑴（3）=b<（D,X（0）（H）+（7Z（
6、）（7?）=/?引入矩阵向量记号:兀⑹⑵x（o）（3）■■■X（0）（/2）-z⑴(2)1-z⑴(3)1••••••-Z(，)(/2)1数据向量参数向量数据矩阵于是GM（1,
7、1）模型可表示为Y=Bu.在问题归结为求a,b的值。用一元线性回归，即最小二乘法求它们的估计值为={BIBYxBlY注：实际上回归分析中求估计值是用软件计算的，有标准程序求解，matlab,excel都可以。对于GM(1,1)的灰微分方程(1),如果将灰导数x(0)(k)的时刻k=2,3,…“视为连续变量(，则x⑴视为时间f的函数兀⑴(f),于是兀⑼伙)对应于导数竺dt让背景值Z⑴伙)对应于导数兀⑴⑴。于是GM(1,1)的灰微分方程对于的白微分方程为dx⑴⑴⑴—-—+ax)⑴=b(2)at称之为G
8、M(1,1)的白化型。式子⑵以初值兀⑴(/=1)=,°)(1)的解为尤⑴⑴=(严)(1)一2)厂小+2aa注：GM(1,1)的白化型(2)并不是由(1)直接推导出来的,仅仅是一种“借用”或“白化默认”。所以从GM(1,1)的白化型推导出来的结果，要在不与定义矛盾的情形下才成立。后面我们会看到，对数据列有要求。令X®为GM(1,1)建模序列，X(o)=(x(o)(l),x(o)⑵,…,*°)(力)X⑴为x(。)的1・AGO序列，乂⑴二(兀⑴(1),兀⑴(2),・・・,兀⑴(7Z))k尹伙)=工炉(i
9、),k=12…乳/=!令Z⑴为X⑴的紧邻均值(MEAN)生成序列Z⑴=(z⑴⑴,z⑴⑵，…,z⑴⑺))z⑴伙)=0.5兀⑴(灯+0.5兀⑴伙-1)则GM(1,1)的定义型，即GM(1,1)的灰微分方程模型为兀⑼伙)+az⑴伙)=b(3)模型符号含义为1)Model1阶方程1个变量式中。称为发展系数，$为灰色作用量。设Q为待估参数向量，即a=,则灰微分方程(3)的最小二乘估计参数列满足a=(B,BY]BrYn其中七⑴⑵r(0)(2)'B=-z⑴⑶1?0)(3)••••••■-Z⑴何
