千题百炼——高考数学100个热点问题(二)第39炼传统不

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1、第39炼传统不等式的解法一、基础知识1、一-元二次不等式：ax2+bx--c>O(a^0)可考虑将左边视为一个二次函数f(x)=ax2-^-bx+cf作出图像，再找出x轴上方的部分即可——关键点：图像与兀轴的交点2、高次不等式(1)可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：(令关于x的表达式为/(x),不等式为/(兀)>0)①求出/(%)=0的根西,兀2,…②在数轴上依次标出根③从数轴的右上方开始，从右向左画。如同穿针引线穿过每一个根④观察图像，/(兀)>0=寻找兀轴上方的部分/(%)<0=>寻找兀轴F

2、方的部分(2)高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式(1)将分母含有兀的表达式称为分式，即为44的形式g(兀)(2)分式若成立，则必须满足分母不为零，即g(对H0(3)对形如44>0的不等式，可根据符号特征得到只需/(x),g(x)同号即可，所以g(x)(兀)>0将分式不等式转化为:'7(化商为积力进而转化为整式不等式求解[g(X)H04、含冇绝对值的不等式(1)绝对值的属性：非负性(2)式子小含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是

3、通过对绝对值内部符号进行分类讨论(常用)；二是通过平方(1)若不等式满足以下特点，对直接利用公式进行变形求解：①

4、/W

5、>g(x)的解集与/(x)>g(兀)或/(x)<-g(x)的解集相同②

6、/(x)

7、

8、bna+c〉b+c,口J发现不等式的两边做了相同的变换(均加上c),将相同的变换视为一个函数，即设/(X)=X+C,则G+C=/(Q),b+c=/(方)，因为f[x)=x+c为增函数，所以可得：d>bo/(d)〉/(/?),即a>b=>a+c>b+c成立，再例如:c>O,ac>be/、/、a>b^>,TiJ设函数f(x}=cx,nj^

9、

10、c>0时，/(x)为增函数，evO时,[cbnfc>0,/(«)>/(/?)c<0,/(a)

11、以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换吋不等号是否发牛:改变，取决于函数的增减性。增函数〜不变号，减函数〜变号在这种想法的支持下，我们可以对不等式的变形加以扩展，例如：a>b,则丄丄的关ab系如何？设/(%)=-,可知/(%)的单调减区间为(-00,0),(0,+00),由此可判断出：当a"•X同号时,a>b=>—<—ab(2)指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对数变换的过程屮，不等号的方向是否变号呢？先来回顾指对数两数的性质：无论

12、是y=/还是y=]og“x(d>0,dHl),其单调性只与底数d有关：当d>l时，函数均为增函数，当0VQV1时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与1的大小，规律如下：ci>1时，x>y<=>logrtx>logdXx,y>0)*Olog“X0)进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了(1)对于对数的两个补充①对数能够成立，要求真数大于0,所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条/W>0件，如当。>1时‘1ogj(兀)>log“g(兀)g(兀

13、)>0J(x)>g(x)②如何将常数转化为某个底的对数。可活用“1”：因为1=log“Q，可作为转换的桥梁例如：2.5=log2()?2.5=2.5X1=2.5xlog22=log2225=log2V32某些不等式虽然表而形式复朵，但如果把其中一部分视为一个整体，则可对表达式进行简化，进而解决问题，例如：(2丁一3・2"-4〉0,可将为2”视为一个整体，令f=2x,则r>0,则不等式变为尸一3f-4>0n(f-4)(r+l)>0nf>4,・・.2”>4,两边可同取以2为底对数x>log.4=26、利用换

14、元法解不等式(1)换元：属于化归时常用的一种方法，本质是研究对彖的选取，不受题冃所给字母的限制，而是选择合适的对彖能把陌生问题进行化归，转化为能够解决的问题。如上一个例了中，通过将2"视为整体，从而将不等式转化为一元二次不等式进行求解(2)在换元的过程中，用新字母代替原来的字母利式子，将问题转化为新字母的问题，从而要先了解新字母的取值范围。即若换元，则先考虑新元的初始范围(3)利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不