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1、解斜三角形在实际生活中的应丿IJ江苏省丹阳高级屮学丁玲（212309）解三角形在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用。将实际问题提炼成数学问题，再综合运用止弦定理、余弦定理、三角恒等变形以及平面儿何的有关知识解决问题是解此类应用题的基木思路。下而举例说明解斜三角形在实际主活屮的一些应用。例1、如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平而内的两个测点C与D.现测得ZBCD=15ZBDC=6OCD=s^并在点（：测得塔顶A的仰角为30。，求塔高分析：如图所示求塔的高度即求AB的大小，在三角形厶DBC中利用
2、正弦定理求出BC的长，然后将问题转化到厶ABC屮，通过解三角形求出AB解决问题。解：在△BCD中，ZCBZ)=180-75^-60°=45^BC_CD由止弦定理得sinkBDCsinZCBD»CDsinZBDCBC=所以sinZCBD5-sin60y/6sin45°=~TS在RtZXABC屮,AB=BCtanZACB=5•tan30=——$点评：根据条件能判断大概川止弦还是余弦定理来解决问题。如本题已知条件为同一三角形中的两角及一边，则比较明显为正弦定理。若为两边及夹角则考虑用余弦定理。例2、在海岸人处，发现北偏四75。的方向，
3、距离人2“mile的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，距离A（希一5mile的C处的緝私船奉命以1°厲"mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以伽mile/h的速度从B向北偏西30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？分析：根据题意，可设恰在D处截获走私船。缉私船的速度为每小时1°岛?海里，当截获该走私船时，则构造了ZBD,先解AABC由AB二2,”=ZBAC=20°运用余弦定理和正弦定理求出ZACB,然后再解MBD,求解。解：由已知条件得，AB=2fAC=®,ZB4C=120°,.BC=VAB2+A
4、C2-2AB•AC•cosABAC••=J4+4-2巧+2巧-2=乔AB_BC•近=sinZACB—在ABCrfn,sinZACBsinABAC,解之得2,・・."CB=45°,・・.BC为水平线，设经过时间f小时后，缉私船追上走私船，则在ACD中，BD=10r,CD=10妁，ZDBC=120°,sinZBDC=-n2・ABDC=30°・••缉私船沿北偏西60°的方向能最快追上走私船.说明：⑴对方位角如“北偏術75"，，、“北偏东45的止确理解是解题的基础；⑵将实际问题提炼成数学问题，构造可解三角形杲重要环节。例3、一条河的两岸
5、平行，河的宽度〃为500m,一条船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度lv*1=10km/h,水流速度加"，那么儿与「2的夹角&（精确到1。）多大时,船才能乖直到达对岸B处？船行驶多少吋间？（精确到0.1min）分析：小船在有一定流速的河中过河时，实际上有两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水屮的船的运动），船的实际运动是合运动。解：如图所示根据平行四边形法则和解三角形知识可得：IV]l2=lvl2+lvl2^jlvl=Jx-必=a/102-42«9.2（km/h）cos(龙一0)=—
6、—=——=—•.・丨片丨105d0.5.....t=—=——=3.3(min)1119龙一&=〃6>=—30,即3°,500m=0o5km时间v答：儿与卩2的夹角&约为144。时船才能垂直到达对岸B处，大约行驶3.3mino说明：本例的“小船过河问题^在速度问题中只有代表性，要清楚以下两点：⑴若耍小船垂直丁河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图⑴此时过河时间VV'Shl3(儿为船在静水中的速度，"2为水流速，/为船的实际速度)。dt=—⑵若使小船过河时间最短，应使船头止对河岸行驶，如图⑵，此时过河的时间儿(以上〃均为河宽
7、)。例4、某建筑的金屈支架如图所示，根据要求A3至少长2.8m,C为4〃的屮点，B到D的距离比CD的长小0.5m,=60°,已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计M,CD的长，对使建造这个支架的成木最低？分析：为了求出支架的最低成木。我们首先得求出成木的表达式。根据已知条件我们町以构作'CDB。这样已知条件中的BD与CD边长的关系以及ZBCD=60°o就在同一三角形中。满足运用余弦定理的条件。找出BD与CD之间的关系，根据表达式求出最值。解决问题。解.设BC=ain(a>1,4),CD=bm・连结BD(b_丄)2=b2+a
8、2-2abcos60则在ACDB中，22121tr——a——b=•/.b+2a=+2a.a-a-?8t=a-j>--一1=0.4,设2(r+l)T3b+2a=+2(r+l)=3r+—+427,则(4/等号成立时'=>0.4,a=.5,h=4.答：当AB
