概率与数理统计答案贺瑞缠

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1、概率论与数理统计一一贺瑞缠等编第一章随机事件及其概率习题1参考解答P27四、5.设A,B,C三事件相互独立，求证皆与C独立。证明：(1)因为力、B、C相互独立，P[(AU5)nC]=P(yiCUBC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)=[P(A)+P(B)一P(AB)]P(C)=P(AJB)P(C):.AJB与C独立。(2)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C)AAB与C独立。(3)P((A-B)C)=P(ABC)=P(/C(Q-5))=P(AC)-P(ABC)=P(A)

2、P(C)一P(A)P(B)P(C)=P(C)[P(A)一P(AB)]=P(C)P(A一B),:.A-B与C独立。P28三、1.将一枚均匀硬币掷2〃次，求岀现正而次数多于反而次数的概率.【解】掷2,7次硬币，可能岀现：缶｛正面次数多于反而次数｝,生｛正而次数少于反而次数｝,C=｛正面次数等于反面次数｝，A,B,C两两互斥.可用对称性來解决.由于硬币是均匀的，故PC4)=P(B).所以P(A)=◎)丄丄+丄更=亠0.412502305~^C)/1w/1w1(iA由加重贝努里试验中正面出现〃次的概率为P(C)=C；；——,故P(A)=-1-C^,—(2丿(2丿2

3、V2“"丿3.有两箱同种类型的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱屮任挑出一箱，然后从该箱屮取零件两次，每次任収一只，作不放冋抽样。试求(1)第一次取到的零件是一等品的概率。(2)第一次収到的零件是一等品的条件下，第二次収到的也是一等品的概率。【解】设B表示“第i次取到一等品”i=l,2；令表示“第j箱产品”j=l,2,显然AlUA2=S,A^2=(1)(BlAiB^A2Bit!全概率公式解)。］巴2128J2(2)

4、即=3屍)=空5049空3029“4857211P(BJ25(先用条件概率定义，再求P®B2)

5、时，由全概率公式解)P29四、2.设P(/)>0,试证:中)【思路】通常用逆推法来考虑这类不等式的证明.若不等式成立，则有P(A)-P(BA)>P(A)-P(

6、/）Sl故P（^）«P（5H）＞P（^）-[1-P（5）],因而有P（A）P（BA）＞P（A）-P（B由于尸（/）〉0,因此得P{BA）＞-P㈤卩⑺）【证毕】第二章习题参考

7、解答_A_P56三、3.设随机变量X的概率密度为fx)=J0,X<1,X>1.试求：(1)系数A；(2)X落在(in<~252>内的概率；(3)X的分布函数.【解】(1)由概率密度的性质，有1A1=Jf(x)dx=J/2dx=2J_oo-1V1—X017Tdx=2/arcsinx=2Ax—.02故/=丄.7T(2)由概率的计算公式知P(--

8、infVl-Z2兀X1.1=—arcsinx+—;-171_2'i1i当x>l时，F(x)=[—-Jz=-arcsine7T1-rb0,从而有F(x)=I【解毕】11_——arcsinx,27t1,+oo【技巧】(1)确定随机变量的概率密度/(兀)中的参数时，一般要用到性质Jf(x)dx=1来求解.(2)如果随机变量的概率密度是分段函数，则其分布函数也是分段函数，在求解过程中，需要注意的是,将积分区间(—,4-00)化成子区间时，被积函数/(Q应同时换成它在该子区间上的相应的表达式.特别，在许多情况下，先作出/(X)的简图，再利用F(x)的几何意义来求F(x)

9、的分段表达式是十分有效的.4•设连续型随机变量X的分布函数为尸(兀)=x>^试求：(1)43的值；(2)(3)概率密度函数/(X).解：(1)vF(+oo)=limU+5e_2x)=l:.A=lX-^+co又•・•lim(M+%f)=F(O)=O.B=-A=-xto*(2)P(-l0兀SO5.设某仪器上装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，其中参数A=—，试求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只元件损坏的概率Q.600【思路】以4（心1,2,3）分别表示第Z个元件的使

10、用寿命，由题设知^.（1=1,2,3）