极限问题的求解技巧2

《极限问题的求解技巧2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、1数列极限1.1数列极限的相关概念定义1：3・N语言）设数列｛att｝,如果存在常数数a,对任意给定的正数£（无论多么小），总存在正整数N,使得当/i>N时，有成立，则称数列仏｝收敛于a，乂称a为数列应｝的极限，记作hman=«（或你a,n?）.若数列低｝没有极限，则称甌｝不收敛，或称［an｝为发散数列。定义1’任给£>0,若在U（a;e）之外数列应｝中的项至多只有有限个，贝9称数列｛%｝收敛于极限弘注意：在定义1屮，主要强调幺的任意性和N的存在性。数列是否有极限，只与它从某一项以后有关，而与它前面

2、有限项无关，因此在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限个项的数值，对数列的敛散性和极限都不会发生影响。在定义T中，主要刻画的是极限的几何意义，即所有下标大于N的项仇都落在领域U（a;e）内，而在U（以）Z外，只含有数列｛©｝中至多N项（有限项）。在应用定义法解题时，我们应清楚定义1适合去验证数列极限，也就是说已知给出了某一数列的极限，我们来证明这一数列的极限的确等于这个数。。而定义T适合去判断某一数列是否以伉为极限或是否存在极限。下面举例说明如何利用定义法来求解数列极限相关问题。例1：证明l

3、imn+^n=1川n・n+1证明：H£>0,要使不等式

4、力・1

5、=丁「1V胃二2“成立，从而有不等式n-n+1n・n+1rrnn5解得n>-e取N二聲+1,于是，”幺>o,$N=§-+1?N,nn>N,有n2+4n“10”n!“limq"=0(0〈q"

6、<1)；lim-0；limVh

7、=1;lim—=Q(a>0)；lim即=0(«>0川钩l,k1)；lim—=0。nnfianYln例2:证明如2｝为发散数列。证明：对任何伉fR,取5=1,则数列片｝中所有满足n>a+l的项存在无穷多个，且都落在U(a;e0)之外，故｛/?｝不以任何数伉为极限，所以可知｛/?｝为发散数列。1•2求解数列极限的一些常见方法方法一：利用极限的四则运算来求解极限极限的四则运算：若liman=a,limbn-b,则有liman?bfla?bonnn若liman=a,limbu=b,则有lim%?乞a?b；当

8、"为常数c时,nnnlimcan-climan-ca。nn若limatl=aAimbn=b(当b”构0时，b0),则有lim—=—。””«btlb证明：由于仇・bn=a^l)bn及中二％?+,因此我们只需证明关于和、积与倒数运算的结论即可。设liman=aAimbn=b,则对任给的e>0,分别存在正数与N”使得tina-a^N],b-N2.取“=max｛N],N2｝,则当卅>N时上述两个不等式同时成立，从而有a+bn-b<2e?lim(«wbn)=a+b.讷.ab=（a

9、„-a）bn+伉（’一）？

10、兔皿加+问肉-b.由数列收敛的有界性定理，存在正整数M,对一切川有bnNff'j",可得：

11、叫"・"科<（皿+问）幺由幺的任意性，这就证得lim%””=ab.n乂由于lim®=b?0,根据收敛数列的保号性，存在正数叫，使得当n>N3n1时有bH>-b.取N'二max{N2;N3}，则当n>N'时有111

12、_氐■忙丄氐胡AI®b

13、

14、讷b2b2由£任意性，这就证得lim—例3:求lim~~-川4n2-111a23・—lim3——解：Um^1—2

15、1=lim―=-牛4-limpwnw4/1-1”4-4lim4-4nfin11又矢[I,lim—=0,limp=0nnnnmiv3n2-n3所以，lim,n4n2-14小结：利用数列极限四则运算来求解的前提是各数列极限存在，且数列极限除法运算必须强调分母有意义不为零。在本题中特别要记住两个常用的极限：11lim—=0,lim—=0,在以后的解题屮也会应用到。”nnn方法二：利用数列极限的迫敛性来求解数列极限设数列an}>[btl},liman=a,limbn=a,数列{-}满足：存在N°,当n>N

16、（）时有an#cnbn,则c“收敛，>limcn=a。n证明：任给e>0,由liman=limbtl=a,分别存在正数nnM与使得当心汕时有a-eN2时有bftN时，有—e