第十二章微分方程(习题及解答)

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1、1.函数v=5x2是否是微分方Sxvz=2v的解？.答:2.微分方程d兀+心_0,y

2、「4的解是•答:y丿IX=33.微分方程3x2+5x-5/=0的通解是答:4.微分方程xvz-vlnv=0的通解是・答：5.微分方程J1-兀2$=、/]_『的通解是.答:6.微分方程xyf-y=y(lny-Inx)的通解是.答:二、填空题(2)-a/=解：、齐次微分方程答(B).答(C).答(D).答(A).答(D).是.x2+y2=25.32兀兀一厂y=—+—+C.•52y-eCx.arcsinv=arcsinx+C•r+y)；第十二章微分方程

3、§12.1微分方程基本概念、可分离变量的微分方程一、单项选择题1.下列所给方程屮，不是微分方程的是().(A)a/=2y；(B)x2+y2=C~；(C)y"+y=O；(D)(7x-6y)dx4-(x4-y)dy=0.2.微分方程5//+^-2y⑶=0的阶数是().(A)1:(B)2；(C)3:(D)4:3.下列所给的函数，是微分方程/+y=0的通解的是().(A)y=C]COSx；(B)y=C2sinx:(C)y=cosx+Csinx；(D)y=Cjcosx+C2sinx4.下列微分方程屮，可分离变量的方程是().(A)y=ex+

4、y；(B)兀y+y=兀；(C)y'-xy-=0；(D)(尢一y)dx+(x+y)dy=0.5.下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是().(A)=ex+y:(B)亍+y=x2；(C)-x=0；(D)(兀一y)d%+(x+y)dy=0.三、解答题1.求下列微分方程的通解.(1)sec2xtanj?dx+sec2ytanxdy=0；解：(2)yzsinx=jiny,yv=£=e；解：1.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:⑴=e~x~y,yx=Q=0:解：⑶xdy+2)dr=0,也=1；解:⑷診旷.解：-dr+ln2,求/(

5、兀)的非积分表达式.答：/(x)=ev-ln2.2>§12.2一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1.下列所给方程中，是一阶微分方程的是().(A)学+上=3(山兀))，；dxx(B)2y”斥ctvx+1(C)字=d+y)2；dx(D)(x-y)dx+(x+y)dy=0.答(B).2.微分方程y2)dx+2xydy=：0的方程类型是().(A)齐次微分方程；(B)一阶线性微分方程；(C)可分离变量的微分方程；(D)全微分方程.答(D).3.方程=J/+y2+歹是()・(A)齐次方程；(B)—阶线性方程；(C)伯努利方程；(D

6、)可分离变量方程.答(A).二、填空题1.微分方程史+y二厂的通解为.答：y=C厂+兀厂.dx兀32.微分方程(x2-y)dx-xdy=0的通解为.答：--xy=C.3.方程(x+y)(cLv-dy)=dr+dy的通解为•答：x-y-ln(x+y)=C.三、简答题(2)=dxx解：1.求下列微分方程的通解:(1)y'+ycos兀二严'；解:(3)xyf+y=兀？+3兀+2；解：(4)y+ytanx=sin2x；解：⑸L亠曙+2y=0；(6)ey+(xey-2y)dy=0；(7)(a2-2xy-y2)dx-(x+y)2dy=O•解：

7、1.求下列微分方程满足所给初始条件的特解.x=0ysinx解:GVy^iiiaI.⑵-^+-=——，y=1.drxx解：x=^3*.求伯努利方程空-3与二xy?的通解.dx解:§12.3可降阶的高阶微分方程.二阶线性微分方程一.单项选择题I•方程*=sinx的通解是()•19(A)y=cosx+—C]X+C2x+C3:(B)y=cosx+C(；2(C)y=sinx+—C}x2+C2x+C3:(D)y=2sin2x.2.微分方程/+/=x/满足条件必*2=i，y(A)y=(x-l)2；(B)y=(D)尸=1的解是(2_5~4x=2'

8、rXd、2,nX——2丿答(A)).答(C).答(D).答(A).2.微分方程)/=)/+兀的通解为答:y=C^-y-X+C2.(A)令y=p(x),=p代入求解；(B)令y'=p(y),)产=pp代入求解；(C)按可分离变量的方程求解；(D)按伯努利方程求解.答(B).4.下列函数组线性相关的是().(A)30;(B)e2；(C)sinx,cosx;(D)戶，兀戶.答(A).5.下列方程中，二阶线性微分方程是()•(A)/-2y(/)3=0；(B)y"+2yy+xy=ex；(C)/+x2/+/=3x2；(D)y"+2xy+x

9、2y=2eJ答(D).6.y,儿是：f+仅/+©=0的两个解，则其通解是().(A)y=C}y}+y2；(B)y=Cly]+C2y2:3.对方程/=y+/2,以下做法正确的是().(C)y=Ciyi+C2y2,其屮必与力线性相关；(D)y=Clyl